В двадцатые годы прошлого века немецкий математик Дэвид Гилберт разработал наглядная модель, которая показала насколько сложно осмыслить идею бесконечности.
Представьте себе гостиницу с бесконечным количеством комнат или трудолюбивым ночным администратором. Как-то ночью бесконечная гостиница оказывается забита под завязку, всё занято бесконечным количеством гостей, в гостиницу заходит человек и просит комнату, но вместо того чтобы отказать администратор решает освободить для него одну. Как? Да просто,он предлагает постояльцу в номере 1 переехать в номер 2, жильцу из номера 2 в номер 3 и так далее. Все гости переезжают из номера n в номер n+1. количество номеров бесконечно, а значит для каждого постояльца найдётся новая комната, а номер 1 освободится для нового клиента. Этот алгоритм можно использовать для любого конечного числа гостей, если к примеру из туристического автобуса выйдет 40 человек и каждому будет нужна комната, тогда все нынешние постояльцы передвигаются из номера n в номер n+40, таким образом освобождая первые 40 комнат. Но вот у гостиницы останавливается бесконечно большой автобусом со счётно бесконечным количеством пассажиров. Счётное ключевое слово.
Сначала, увидев бесконечное количество пассажиров администратор приходит в замешательство, но потом понимает что может всех разместить. Он просит постояльца из номера 1 перейти в номер 2. Затем он просит того кто в номере 2 перейти в номер 4, из номера 3 в номер шесть и так далее. Все клиенты переезжает из номера n в номер 2 n, заполняя бесконечное количество комнат с чётным номером, а значит администратору удаётся освободить бесконечное количество нечётных номеров, в них въедут пассажиры бесконечного автобуса. Все счастливы, гостиница получает ещё большую прибыль, точнее такую же прибыль как всегда, бесконечно большую сумму в долларах. О невероятной гостинице говорят все, люди стекаются сюда со всего мира и как-то ночью происходит невероятное.
Администратор выглядывает в окно и видит бесконечную череду бесконечно больших автобусов, в каждом счётно бесконечное количество пассажиров. Что же делать? Если он не найдёт достаточно номеров гостиница понесёт бесконечное убытки и он несомненно потеряет работу. К счастью он вспоминает, что примерно в 300-ом году до нашей эры Евклид доказал, что количество простых чисел бесконечно. Чтобы решить эту, на первый взгляд безнадежную задачу и найти бесконечное количество комнат для бесконечного числа усталых пассажиров в бесконечных автобусах, администратор перемещает всех постояльцев в номер с первым простым числом два, возведённым в степень равную номеру их комнат и тот кто сейчас занимает комнату номер 7 переедет в номер два в седьмой степени 2^7 , то есть 128-ой. Администратор распределяет пассажиров первого бесконечного автобуса в комнаты. Их номера соответствуют следующему простому числу 3 возведённому в степень равному номеру сиденья в автобусе, значит человек на сиденье 7 в первом автобусе идёт в комнату три в седьмой степени 3^7, то есть в комнату 2187. Так происходит со всеми в первом автобусе, пассажиры второго занимают степени следующего простого числа 5. Следующего автобуса степени 7-ми, а затем 11, 13, 17 и так далее. У всех этих чисел множителями могут быть только единица и простое число в степени с натуральным показателем, поэтому номера комнат ни у кого не совпадают. Все пассажир распределяются согласно плану распределения, который основывается на уникальном простом числе. С помощью подобного способа администратор может разместить всех пассажиров со всех автобусов. Однако много комнат останутся незанятыми, например номер 6, так как 6 не является степенью какого-либо простого числа. К счастью его начальники слабы в математике, так что работе ничего не угрожает. Алгоритм ночного администратора можно применить только из-за того, что хоть и являясь настоящим вычислительным кошмаром, эта гостиница оперирует только на низшем уровне бесконечности, в основном на уровне счётной бесконечности натуральных чисел 1, 2, 3, 4 и так далее. Георг Кантор назвал этот уровень бесконечности Алеф нуль, мы используем натуральные числа для номеров комнат, а так же для номеров сидений в автобусе, если бы мы работали на более высоком уровне бесконечности, то есть на уровне действительных чисел, наш алгоритм невозможно было бы использовать, так как нам не удалось бы систематично включить в него все числа. Бесконечные гостиницы действительных чисел, есть подвальные комнаты с отрицательным номер, подвальные комнаты в которых постоялец подозревает, что у него меньше места чем у счастливчика в номере 1. Квадратные корни из комнат, как например комната с номером корень из двух или номер Пи, с дополнительным туалетом. Ни один уважающий себя администратор не захочет работать в такой гостинице, даже за бесконечную зарплату, однако бесконечные гостиницы Гилберта, где все комнаты заняты, но одновременно всегда есть свободные, трудности с которыми сталкиваются обычный прилежный немного чересчур гостеприимный администратор, напоминают как сложно нашим относительно ограниченным умом осмыслить необъятную природу бесконечности. Возможно вам будет проще понять всё это когда вы хорошенько выспитесь, но скорее всего в 2 ночи вам придётся переехать в другой номер.
Ссылка на видео: https://youtu.be/XI7DhCUI2eo