Математика рассматривается как вершина абстрактного мышления, но способны ли мы отфильтровывать наши знания о мире, чтобы они не мешали нашим расчётам? На нашу способность решать математические задачи влияют не математические, житейские, знания, что приводит к ошибкам.
Математики высокого уровня, или математики-эксперты, могут быть обмануты некоторыми аспектами своих знаний о мире и оказываются не в состоянии произвести вычисления, которые делают дети в начальной школе.
Преподавание математики в школе обычно основывается на примерах, взятых из повседневной жизни. Будь то сложение апельсинов и яблок для приготовления пирога или деление тюльпанов на количество ваз для цветочной композиции. Мы изучаем математику на конкретных примерах. Но в какой степени выбранные примеры влияют на способность ребёнка использовать математические конструкции в новых контекстах задач?
Для ответа на этот вопрос двум разным группам были представлены двенадцать задач. Первая группа состояла из взрослых, прошедших стандартный школьный курс обучения (11 классов), а вторая группа состояла из математиков экспертного уровня.
Счёт животных в сравнении с подсчётом сантиметров
Все представленные задачи имели одинаковую математическую структуру, одни и те же числовые значения, и одно и то же решение: другим был только контекст. Половина задач заключалась в подсчёте количества животных в группе, стоимости еды в ресторане или веса стопки словарей (элементы, которые можно сгруппировать).
Например, были такие задачи: у Оли 14 животных: кошки и собаки. У Кати на две кошки меньше, чем у Оли, и столько же собак. Сколько у Кати животных?
Второй тип задач требует расчёта того, сколько времени требуется для строительства собора, на какой этаж подъезжает лифт или кого роста Смурфик (утверждение, которое может быть представлено по горизонтальной или вертикальной оси).
Например: когда Смурфик Ленивец забирается на стол, он достигает 14 см. Ворчун на 2 см короче, чем Ленивец, когда он забирается на тот же стол. Какого роста достигает Ворчун?
Предполагалось, что ответ на задачку с животными будет труднее найти, чем в задачке про Смурфа, несмотря на их общую математическую структуру.
Все эти математические задачи могут быть решены с помощью одного вычисления: простого вычитания. Это, на мой взгляд, самое лёгкое среди задач, представленных на оси (14 - 2 = 12, в случае смурфов). Но нам нужно изменить перспективу для задач, описывающих множества, где мы автоматически пытаемся определить индивидуальное значение каждого упомянутого подмножества. Всё это мы делаем не осознанно, опираясь на житейски опыт.
Когда житейские знания мешают математическим рассуждениям
Каждая из представленных задач сопровождалась решением, и участники должны были выяснить, является ли оно правильным или задача не может быть решена вовсе. Результаты были потрясающими!
В не экспертной взрослой группе, с уровнем образования в 11 классов, 82% ответили правильно на задачи с осями (про Смурфов), по сравнению с 47% для задач, связанных с группами (про животных). 53% пришли к выводу о том, что правильного решения среди представленных нет.
Что касается экспертов-математиков, 95% правильно ответили на задачи про Смурфов. Этот показатель упал до 76% в случае с задачами о животных! В 25% случаев эксперты полагали, что не было никакого решения задачи, даже если это было на уровне начальной школы!
Результаты подчёркивают критическое влияние наших знаний о мире на нашу способность использовать математические рассуждения. Они показывают, что при решении задачи изменить перспективу нелегко. То, как формулируются условия математической задачи, оказывает реальное влияние на производительность, в том числе на экспертов в области математики.
У меня была одноклассница Юля. Очень умная и талантливая девочка. Она профессионально рисовала, хорошо училась. У неё был математический склад ума: она с лёгкостью решала все задания на уроках и без всяких трудностей могла производить вычисления с большими цифрами в уме! Но каково было моё удивление на одном из уроков, когда она повернулась ко мне и спросила: "А сколько будет одиннадцать минус восемь?". И тут я опешил: она не шутила! Она действительно не понимала, как оперировать такими маленькими цифрами. Парадокс, не правда ли?
А вы встречали таких людей?