средней линии трапеции в средней линии
трапеции называется отрезок соединяющий
середины боковых сторон то есть пусть у
нас есть такая трапеции если мы на
боковых сторонах отмечаем серединке и
соединяем их то получаем отрезы которые
называются средней линии с помощью
векторов мы можем доказать что средняя
линия трапеции параллельна основаниям и
равна их полусумме давайте это докажем
пусть у нас есть трапеции abcd пусть у
нас м середина а б а н середина cd то
есть м это средняя линия требуется
доказать что м.и.
во-первых параллельно основанием
например параллельно а.д.
если на параллельно обету она
параллельно bc из то что средняя линия m
n равняется полу сумме основание b c + d
мы это можно доказать с помощью векторов
а именно давайте рассмотрим вектор м.н.
как мы можем его выразить мы можем его
выразить как вектор mb
плюс вектор bc плюс вектор c н поправила
многоугольника давайте так и запишем
victor m n равняется вектор mb
плюс вектор bc плюс вектор c а с другой
стороны мы вектор mn можем выразить
следующим образом виктор м
а + а d + d то есть м n равняется
вектор-м а + а + д н сложим эти два
выражения здесь получим два вектора м.н.
что мы получим с правой стороны обратим
внимание что вектор b и вектор м а
является противоположными значит их
сумма есть нулевой вектор
то же самое с вектором цны д-р они тоже
являются противоположными их сумма
нулевой вектор таким образом у нас
останется здесь только b c + d
получается два вектора m n равняется b c
+ а.д.
если мы разделим на 2 получим здесь 1 2
но такое выражение так как вектора bc и
а.д.
со направлены то вектор mn будет также
со направлен с ними например со
направлен с вектором а д теперь так как
эти вектора
со направлены длина вектора который
равняется их сумме будет равняться сумме
длин соответствующих ликторов то есть
длина вектора b c + d это длина отрезка
bc плюс длина отрезка а.д.
а это означает что длина вектора m n
равняется 1 2
длина вектора bc плюс длина вектора а.д.
если м.н. лектор м-н сонаправлена с
вектором а д то соответствующее прямые
млрд будут параллельными то есть этим
самым доказывается первой части из
второй части длина вектора mn и то есть
длина отрезка м.н. значит из этого
выражения доказывается вторая часть
таким образом средняя линия трапеции
параллельна основаниям и равна их
полусумме как мы можем использовать это
свойство для решения задачи мы можем ее
использовать для решения задачи которые
даже не связаны с векторами мы можем
использовать полученную формулу для
решения задач которые вообще говоря даже
не связаны с векторами
например пусть у нас есть трапеция и в
нем вписана окружность
пусть известно что средняя линия этой
трапеции m n равняется скажем 5
требуется найти периметр этой трапеции
давайте обозначим abcd
как мы можем найти периметр abcd
мы знаем что средняя линия m n равняется
полусумме оснований 1 2 b c + d
так как м и у нас 5 то отсюда мы можем
найти сумму длин отрезков bc и ad и bc и
ad и будет равняться 2 умноженное на m
and то есть два на 5 10 это означает что
сумма вот этих двух сторон 10 но мы
знаем что если в четырехугольник вписана
окружность то сумма противоположных
сторон равны то есть длина а b + c d
равняется b c + d
таким образом а b + cd
тоже равняется 10 но если мы сложим эти
два выражения мы получим как раз таки
сумму всех сторон а это есть периметр
справа получим 10 плюс 10
отсюда получим что периметр равняется 20
таким образом мы нашли периметр знает
только среднюю линию
