давайте решим для начала следующей
задаче пусть у нас есть отрезок
а.б. и пусть .
c является серединой этого отрезка пусть
. а это произвольная точка на плоскости
требуется доказать что у нас есть вектор
а а а л б его c требуется доказать что
вектор отце равен 1 2 вектор а плюс
вектор b давайте это докажем как можем
сделать это выразим вектор c отце с
одной стороны равняется вектор а плюс
вектор
акция так и запишем по а плюс вектор
отце с другой стороны вот c равняется a
b + dc
сложим эти два равенства получим от c +
от цвета два вектора a c равняется a a +
b + a c + dc
но обратите внимание на виктора отце и
bc отце и bc они одинаковые по длине и
направлены в противоположную сторону
значит эти вектора противоположные сумма
противоположных викторов 0 то есть вот
это выражение и то есть нулевой вектор
тогда легко получается разделив на 2 мы
получаем вот эту формулу которой искали
то есть он будет равняться половине у a
+ b
теперь с помощью векторов решить
следующие задачи пусть у нас есть
произвольная трапеции abcd
требуется доказать что продолжение
боковых сторон трапеции
а также точка пересечения продолжение
боковых сторон трапеции а также середины
оснований лежат на одной прямой то есть
вот это все у нас лежит на одной прямой
давайте обозначим эту точку м эту точку
n эту точку о
нам нужно доказать что . о лежит на
прямой m n или например . им лежит на
прямой
о н и так далее ну давайте лучше докажем
что он лежит на прямой m and как мы это
можем сделать для начала рассмотрим
треугольник a b c и треугольник о а д то
есть верхний треугольник и большой
треугольник эти треугольники очевидно
подобны так как трапеции эти стороны
параллельны это соответствующие углы
будут равны
этот угла меняется этом углу по двум
углам эти треугольники подобны если они
подобны то их стороны пропорциональной
то есть ао относится к б точно так же
как он относится к отцы
это равняется не которому как
коэффициент подобия
тогда мы можем сказать что а б тогда мы
можем сказать что вектор a равняется к
умноженное на вектор b действительно эти
два вектора оа и о бы со направлены и
длина вектора оа
равняется k умножить на вектор b из
этого раиса тогда вектор
угрожает в таком виде аналогично вектор
d
представляется как вектор к умноженное
на вектор отце то есть мы выразили вот
эти два вектора через вот эти два
вектора теперь по только что доказаны
формуле мы можем сказать что вектор a m
равен 1 2 b + c стать так и запишем n
равняется 1 2 а b + c аналогично вектор
u n равняется 1 2 aa +
а.д.
но мы получили выражение для а а ю д о а
это k умножить на p от это k умножить на
акции тогда подставим вместо у и а дым
от эти выражения мы сможем как вынести
за скобку получим к деленное на 2а
скобках получив а b + код c
ну а b + c причем пополам равняется
вектору а м значит n равняется к
умноженное на m получается уэн уэн
получается умножение вектора a m на k
а это означает что эти векторы
коллинеарны а если они коллинеарны тони
то все эти 3 точки лежат на одной прямой
что и требовалось доказать
давайте решим следующую задачу для
произвольного треугольника требуется
доказать что существует треугольник
стороны которого соответственно равны и
параллельны медианы этого треугольника
то есть пусть у нас есть некоторые
треугольника bc в котором есть медианы
a1 bb1 и cc один это все у нас медианы
требуется доказать что существует такой
треугольник стороны которые
соответственно равны а 1 b 1 c 1 и сад и
параллельно этим медиана как можем это
сделать
будем рассматривать виктора например
рассмотрим вектор а1
по доказанный нами формуле . один
является серединой bc тогда вектор а1
можно представить как 1 2 а b + a c
аналогично выразимся остальными дианы
bb1 и то есть 1 2 b a + b c и вектор c c
1 тур яйца 1 2 c + cd
сложим все эти три выражения получим
слева получим а 1 плюс bb1 плюс ccd
это равняется вот этому выражению
вынесем одну вторую за скобку что
получим внутри скобок
давайте даже будем считать так здесь у
нас а б а т б abcd акции b a b плюс вот
этот б.а.
это два противоположных вектор а их
сумма будет 0 можем их не считать от c
плюс вот этот со это два противоположных
вектора сумма их будет опять же 0 и b
cccp также будут давать 0 таким образом
сумма вот этих всех векторов
будет равняться нулевому вектору то есть
это у нас номер то таким образом если мы
складываем виктора
которые содержат медианы мы получаем
нулевой вектор а это означает что из них
составляется треугольник что и
требовалось доказать на этом данный