Математическая мысль рассматривается как вершина абстрактного мышления. Но способны ли мы отфильтровать наши знания о мире, чтобы он не мешал нашим расчетам?
Исследователи из Женевского университета (UNIGE), Швейцария, и Университета Бургундии Франш-Конте, Франция, продемонстрировали, что наша способность решать математические проблемы зависит от нематематических знаний, что может привести к ошибкам.
Результаты исследования показывают, что математики высокого уровня могут быть введены в заблуждение некоторыми аспектами своих знаний о мире и не могут решить элементарные задачи на сложение и вычитание уровня начальной школы.
Из этого следует, что эта предвзятость должна учитываться при преподавании математики.
Преподавание математики в школе основано на примерах, взятых из повседневной жизни. Будь то сложение апельсинов и яблок для приготовления пирога или разделение связки тюльпанов на количество ваз для создания букетов, мы овладеваем математическими знаниями на конкретных примерах.
Но в какой степени выбранные примеры влияют на способность ребенка использовать математические понятия в других контекстах?
Исследователи из UNIGE и Университета Бургуна Франш-Комте проверили степень, до которой наши земные знания мешают математическому рассуждению, представив двенадцать задач двум разным группам.
Первая группа состояла из людей, прошедших стандартный университетский курс обучения, а вторая группа состояла из математиков высокого уровня.
По словам исследователей факультета психологии и педагогических наук UNIGE, ученые предполагали, что и те и другие будут полагаться на свои знания о мире, даже если это приведет к ошибкам.
Сталкиваясь с числами, мы, как правило, представляем их мысленно либо в виде групп, либо в виде значений на осях.
Учеными были разработаны шесть задач на вычитание для 5 класса (т.е. для учеников в возрасте 10-11 лет), которые могут быть представлены в виде групп, и шесть других, которые могут быть представлены в виде значений на осях.
Но все они имели одинаковую математическую структуру, одни и те же числовые значения и одно и то же решение. Только контекст был другим.
Эти задачи были представлены в двух различных контекстах.
Половина задач заключалась в подсчете, например, количества животных в стае, стоимости еды в ресторане или веса стопки книг (элементы, которые можно сгруппировать по каким либо признакам).
Пример задачи первого типа:
У Сары было 14 животных, среди которых были и кошки и собаки. У Клары было на две кошки меньше, чем у Сары, и столько же собак. Сколько было животных у Клары?
Второй тип задач требовал, например, расчета того, сколько времени требуется для строительства собора, на какой этаж подъезжает лифт или какого роста человек (элементы, которое можно представить в виде горизонтальной или вертикальной оси).
Пример задачи второго типа:
Когда первый Смурф забирается на стол, его рост вместе со столом составляет 14 см. Второй Смурф на 2 см короче, чем первый. Он забрался на тот же стол. Какого роста вместе со столом будет второй Смурф?
Все эти математические задачи могут быть решены с помощью одного вычисления: простого вычитания.
Это происходит инстинктивно для типа задач, представленных на оси (14 - 2 = 12, в случае со Смурфами).
Но для задач, описывающих группы, люди автоматически пытаются вычислить индивидуальное значение каждого элемента группы, что сделать невозможно.
Например, при решении заданий с животными люди сначала пытаются вычислить количество собак, которое есть у Сары. Исходя из условий задания это невозможно. Хотя для ее решения достаточно просто от 14 отнять 2.
Ученые полагались на тот факт, что ответ на задания с животными будет труднее найти, чем на задачи со Смурфами, несмотря на их общую математическую структуру.
В ходе исследования были получены следующие результаты:
В группе людей, прошедших стандартный университетский курс обучения, 82% правильно ответили на вопросы, связанные с представлением оси, и только с 47% - на вопросы, связанные с группировкой элементов.
В 53% случаев испытуемые считали, что решения задачи не существует, что отражает их неспособность отвлечься от своих знаний об упомянутых в заданиях элементах.
Среди математиков-экспертов 95% правильно ответили на вопросы, связанные с представление оси, и только 76% - на вопросы, связанные с группировкой элементов.
25% экспертов считали, что решения задачи не существует, хотя они были на уровне начальной школы.
Было также выявлено, что участникам, в ходе выполнения заданий, мешали их сложившиеся представления об окружающем мире. Поскольку решение задач, связанных с группировкой объектов происходило медленнее, чем решение “осевых” задач.
Полученные результаты свидетельствуют о значительном влиянии наших знаний о мире на нашу способность использовать математические рассуждения.
Они показывают, что при решении проблемы нелегко “отключить” воображение. Таким образом, ученые утверждают, что мы должны учитывать эту предвзятость в математическом образовании.
От того, как формулируется математический вопрос зависит продолжительность выполнения задания и результат, в том числе и у экспертов. Из этого следует, что человек не можем рассуждать полностью абстрагируясь.
По рекомендациям ученых, необходимо внедрять образовательные инициативы, основанные на методах, которые помогают учащимся познакомиться с математической абстракцией.
***