Татары, как народ, появились в Золотой Орде, путём смешения разных тюркских этносов: здесь и булгары, и кыпчаки(половцы), и другие.
Но как этнонтм пришёл в Восточную Европу?
Войско армии Чингизхсана было многонациональным, состояло из покоренных им народов. Одним из таких был и народ с наименованием "татар". Вообще, первое упоминание этого этнонима именно как "татар" встречается в VIII веке на надгробной плите тюркского полководца Кюль-Тегина, там фигурируют племена отуз-татар и токуз-татар.
В китайских источниках более ранней датировки кочевые племена также именуются "да-да", что тоже можно понимать как "татар".
До сих пор неизвестно на каком языке говорили те татары, тюркском или монгольском(лично я склоняюсь к первому варианту).
Итак, татары в числе покорённых. И ввиду того, что однажды татары во время вражды отравили Есугея, отца Чингизхсана, он считал татар своими врагами и постоянно ставил их в авангард войск, а позже приказал называть все покоренные народы татарами.
Так получилось, что именно это название распространилось и именно это сочетание букв стал бояться весь мир, что, кстати, очень не нравилось монголам.
Принеся свой этноним на Запад, татары влились в местную тюркскую среду, распространив свой этноним в Улусе Джучи(Золотой Орде).
Золотая Орда объединила множество тюркских народов. Пришлые монголы быстро растворились в местной тюркской среде. И единое государство формировало единую нацию - татары.
Уже к началу XIV века было ясно, что татарами называют себя множество жителей Улуса Джучи. В европейском словаре кыпчаково языка "Кодекс Куманикус" (куманами они называли тюркское население Золотой Орды), "куманский язык" переводится как "tatar tili"(татарский язык). Это был литературный язык Улуса Джучи, язык международного общения.
Из источников можно привести ещё письмо Папы Римского Узбек-хану, где Папа обращался к хану как "Император татар"; ну и всевозможные литературные произведение той эпохи.
Золотая Орда оставила после себя множество татар - казанские, астраханские, крымские, сибирские, касимовские, и отдельно ногайцы(очень близки к татарам).