Теорема Пифагора, несомненно, одна из самых известных формул — классика математики средней школы и основа математического образования. Разумеется, вы знакомы с ней:
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Другими словами, существует уравнение вида:
a² + b² = c²,
в котором a и b — катеты, а c — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Имеется множество способов доказать эту теорему. Об одном из них я ранее уже писал (см. «Оригинальное доказательство теоремы Пифагора»).
Сейчас я покажу еще одно доказательство. Да-да, именно покажу, поскольку это доказательство визуальное. Разумеется некоторые математические формулы нам понадобятся, но они будут лишь комментировать иллюстрации.
Возьмем два квадрата, стороны которых равны катетам (a и b) и поместим их в больший квадрат со стороной, равной a+b.
Очевидно, что в нашем рисунке a² и b² — это квадраты катетов прямоугольного треугольника.
Разделим оставшуюся площадь большого квадрата на два прямоугольника.
Очевидно, что у верхнего прямоугольника одна из сторон равна a. Вторая сторона легко вычисляется — это b (a+b–a).
Аналогично у нижнего прямоугольника одна из сторон — это b, а вторая сторона равна a (a+b–b).
Как видим, наши прямоугольники равны — они имеют одинаковые стороны a и b. Площадь этих прямогуольников равна ab.
Таким образом, площадь большого квадрата (a + b)² равна сумме площадей четырех форм внутри него: a² + b² + ab + ab или эквивалентно:
Запомним это равенство, оно нам еще пригодится.
Теперь в каждом из наших одинаковых прямоугольниках проведем диагональ и назовем ее c.
Мы получили четыре прямоугольных треугольника с гипотенузой с и катетами a и b.
А теперь выполним небольшую манипуляцию. Удалим из большого квадрата малые квадраты a² и b² и повернем два внутренних треугольника так, чтобы они были были расположены вдоль краев большого квадрата.
Мы получили еще один квадрат со стороной с и площадью c².
Но, поскольку площадь большого квадрата (со стороной a+b) осталась неизменной, а ранее мы из этого квадрата удалили малые квадраты a² и b², то новый квадрат c² полностью занял их место. А, следовательно:
Теорема Пифагора доказана!
Для самых дотошных мы распишем это визуальное доказательство в уравнениях.
Как видно из последнего рисунка, площадь большого квадрата (a+b)² состоит из площади квадрата c² и площадей четырех прямоугольных треугольников со сторонами a и b. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов или 1/2(ab). Имеем уравнение:
Или упрощая:
Теперь у нас есть две формулы для площади большого квадрата (a+b)². Это что означает, что существует равенство:
Сокращая обе части уравнения на 2ab, получаем:
Что и требовалось доказать!