Табличный закон распределения
Напомним, что соответствие между отдельными возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей вида
При распределении, заданном таблично, математическое ожидание вычисляется по формуле:
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Пример 1. Вероятностный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к текущему курсу в течение шести месяцев дан в виде закона распределения
Требуется вычислить вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3% в месяц сроком на 6 месяцев.
Решение
Вычислим в MS Excel прирост суммы по депозиту за 6 месяцев (рис. 1).
Таким образом, прирост суммы по депозиту за 6 месяцев составит 19,41%.
Вероятность того, что покупка акций выгоднее депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих курсу акций более 19,41%:
Можно сделать вывод, что предпочтительнее покупка акций.
Биноминальное распределение
Биноминальное распределение – одно из самых распространенных дискретных распределений, которое служит моделью для многих процессов.
Для вычисления вероятности отдельного значения биноминального распределения или значения случайной величины по заданной вероятности в табличном процессоре есть функции БИНОМ.РАСП и БИНОМ.ОБР.
Функция БИНОМ.РАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом испытаний или тестов, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача.
Функция имеет параметры:
БИНОМ.РАСП(число_успехов; число_испытаний; вероятность_успеха; интегральная), где
• число_успехов- количество успешных испытаний;
• число_испытаний – количество независимых испытаний;
• вероятность_успеха – вероятность успеха каждого испытания;
• интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная имеет значение ИСТИНА, то функция возвращает интегральную функцию распределения, т.е. вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения аргумента число_успехов. Если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то вычисляется значение функции плотности распределения, т.е. вероятность того, что число успешных испытаний равно значению аргумента число_успехов.
Функция БИНОМ.ОБР служит для вычисления наименьшего числа успешных исходов случайной величины, для которого интегральное биноминальное распределение больше или равно заданной величине (критерию). Функция имеет параметры:
БИНОМ.ОБР (число_испытаний; вероятность_успеха; альфа), где
• число_испытаний - количество независимых двухальтернативных испытаний;
• вероятность_успеха - вероятность успеха каждого испытания;
• альфа – значение критерия, которое является уровнем значимости.
Пример 2. Банк выдает 5 кредитов различным заемщикам. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.
Решение
1. На рабочем листе подготовим исходные данные для расчета:
· в ячейку A2 введем текст “Число испытаний”, а в ячейку B2 – количество выданных кредитов - число 5 (рис. 2);
· В ячейку A3 введем текст “Вероятность невозврата”, а в ячейку B3 – значение вероятности невозврата кредита – число 0,2;
· в ячейку А4 введем текст “Х” – обозначающий случайную величину. В ячейку B4 введем число 5 – число заемщиков, не вернувших кредит. Построим последовательность членов арифметической прогрессии до ячейки G4 (рис. 2);
· В ячейку A5 введем текст “Р”, обозначающий вероятность невозврата кредита.
2. Установим курсор в ячейку B5. Включим ленту Формулы > Вставить функцию. В открывшемся окне диалога выберем категорию Статистические и функцию БИНОМ.РАСП.
3. В соответствующие поля введем значения аргументов функции, делая ссылки на соответствующие ячейки, содержащие исходные данные (рис. 2). Аргументу Интегральная установим значение 0, что соответствует тому, что вероятность числа успешных испытаний будет равна значению аргумента Число_успехов.
4. Установим для соответствующих аргументов абсолютные адреса, используя клавишу F4.
5. Скопируем полученную формулу в диапазон C4: G4. В ячейках диапазона B4 : C4 будет вычислен результат.
6. По данным полученной таблицы построим график ( на ленте Вставка в группе Диаграммы выберем График > Все типы диаграмм > Точечная> Точечная с гладкими кривыми > ОК ) (рис. 3).
Из таблицы и графика следует, что вероятность невозврата четырех и пяти кредитов очень мала, а вероятность невозврата одного кредита является самой большой и составляет величину 0,4096.
Пример 3. Для условий задачи предыдущего примера найти значение числа невозвращенных кредитов, для которого вероятность интегрального распределения больше или равна P>= 0,4.
Решение
1. Установим курсор в свободную ячейку рабочего листа. Включим ленту Формулы > Вставить функцию . В открывшемся окне диалога в категории Статистические выберем функцию БИНОМ.ОБР .
2. Введем значения параметров: число_испытаний – 5, вероятность_успеха – 0,2, альфа – 0,4.
После выполнения вычислений в ячейке будет получен результат равный 1. Таким образом, при вероятности интегрального распределения P>= 0,4 будет не менее одного успешного события, т.е. невозвращенных кредитов будет не менее одного.
Нормальный закон распределения
В табличном процессоре для вычисления значений нормального распределения есть специальные функции: НОРМ.РАСП, НОРМ.СТ.РАСП, НОРМ.ОБР, НОРМ.СТ.ОБР, и НОРМАЛИЗАЦИЯ.
Функция НОРМ.АСП вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для заданного среднего и стандартного отклонения. Она имеет параметры:
НОРМ.РАСП(x; среднее; стандартное_откл; интегральная), где
• x – значение, для которого строится распределение;
• среднее – среднее арифметическое распределения;
• стандартное_откл – стандартное отклонение распределения;
• интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если этот параметр имеет значение ИСТИНА (1), то функция возвращает интегральную функцию распределения, в противном случае возвращает значение функции плотности распределения.
Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, то функция вычисляет стандартное нормальное распределение.
Для вычисления стандартного нормального распределения в библиотеке табличного процессора есть специальная функция НОРМ.СТ.РАСП. Она имеет параметры:
НОРМ.СТ.РАСП(z), где z – значение случайной величины, для которого вычисляется распределение.
Функция НОРМ.ОБР служит для вычисления квантилей для указанного среднего и стандартного отклонения (решается уравнение F(x) = p). Функция имеет параметры:
НОРМ.ОБР(вероятность; среднее; стандартное_откл), где
• вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
• среднее – среднее арифметическое распределения;
• стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.
Функция НОРМ.СТ.ОБР предназначена для вычисления квантилей стандартного нормального распределения, единственным ее параметром является вероятность.
Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ по заданному значению x и параметрам распределения вычисляет нормализованное значение, соответствующее x.
Пример 4. Построить диаграмму нормальной функции плотности вероятности f(x) при М=24,3 и σ=1,5.
Решение
1. В ячейку A3 введем символ х, а в ячейку B3 – символ функции плотности вероятности f(x) (рис. 4).
2. Вычислим нижнюю М - 3σ границу диапазона значений х, для чего установим курсор в ячейку C2 и введем формулу: =24,3-3*1,5, а также верхнюю границу – в ячейку E2 введем формулу: =24,3+3*1,5.
3. Скопируем формулу из ячейки C2 в ячейку А4, полученное в ячейке А4 значение нижней границы будет началом последовательности арифметической прогрессии.
4. Создадим последовательность значений х в требуемом диапазоне, для чего установим курсор в ячейку А4 и на ленте Главная в группе Редактирование кликнем на пиктографической кнопке Заполнить .
5. В открывшемся окне диалога Прогрессия (рис. 4) установим переключатели арифметическая, по столбцам, в поле Шаг введем значение 0,5, а в поле Предельное значение – число, равное верхней границе диапазона .
6. Щелкнем на кнопке ОК. В диапазоне А4:А22 будет сформирована последовательность значений х.
7. Установим курсор в ячейку B4. На ленте Формулы в группе Библиотека функций кликнем на пиктограмме Вставить функцию . В открывшемся окне Мастер функций выберем категорию Статистические и в списке функций – НОРМ.РАСП.
8. Установим значения параметров функции НОРМ.РАСП: для параметра х установим ссылку на ячейку А4, для параметра Среднее – введем число 24,3, для параметра Стандартное_отклон - число 1,5, для параметра Интегральное – число 0 (весовая).
9. Используя маркер буксировки, скопируем полученную формулу в диапазон ячеек B5:D22.
10. Выделим диапазон полученных табличных значений функции f(x) (B3:B22) и на ленте Вставка в группе Диаграммы выберем График > Все типы диаграмм > Точечная> Точечная с гладкими кривыми > ОК.
На рабочий лист будет выведен график нормальной функции плотности вероятности (рис. 5.).