Продолжаем знакомиться с сюжетами из теории множеств, начало цикла здесь. Занимаемся числами, и уже рассказали про аксиоматику натуральных чисел, операции, а также поведали про целые числа.
Целых чисел все равно недостаточно для многих задач, потому что не всегда имеют решения уравнения. Например, уравнение 3х = -4 нерешаемо.
Что такое деление
Речь о том, что операция деления на множестве целых чисел выполнима не всегда. Напомним, деление a : b определяется как нахождение решения уравнения: a = bx. А вовсе не раскладывание одной кучки поровну на несколько, как объясняют первоклассникам. Именно отсюда вытекает, что (деление на ноль) недопустимо, ведь при таком условии х не существует.
Введем числа, которые назовем рациональными, применив для них следующую запись: (a, b), где a и b – целые числа (условимся, что b не равно нулю).
Рациональное число это упорядоченная пара целых чисел – компонент. «Упорядоченная» означает: небезразлично, какое число идет первым, а какое вторым.
Вводим операции
Сложение для рациональных чисел определим так:
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd).
Умножение:
(a, b)(c, d) = (ac, bd).
Нулем теперь у нас будет число (0, a), где а – любое. Единицей – число, например, (1, 1).
Осталось заметить, что числа вида (a, 1) ведут себя (в отношении операций) точно так же, как целые числа а. Проверим, например, сложение:
(a, 1) + (c, 1) = (a + c, 1).
Умножение:
(a, 1)(c, 1) = (ac, 1).
Подмножество рациональных чисел вида (a, 1) изоморфно множеству целых чисел, их можно в известном смысле отождествить, рациональные числа рассматривать как результат расширения множества целых чисел.
Мнемоника
Запись рационального числа в виде (a, b) покажется странной. Употребительная запись a/b удобнее мнемонически, что каждый знает из школьных упражнений.
Понятно, что операции для рациональных чисел не выдуманы произвольно. Речь здесь о том, как будут выглядеть операции, если считать, что деление a : b существует всегда. А запись a/b попросту отождествляем с результатом деления.
Эквивалентность
В теории множеств часто прибегают к одному трюку: считают различные элементы какого-то множества, эквивалентные в некотором смысле, за один элемент. Он будет элементом нового множества, которое называют фактор-множеством – множество классов эквивалентных элементов (классов эквивалентности).
Переход к фактор-множеству – распространенный способ «укрупнить» первоначальное множество. Проигнорировать различие элементов по факторам, которые в данной задаче не играют роли. Эту идею сейчас же и применим.
Вычитание для рациональных чисел получается таким:
a/b - c/d = (ad - bc)/(bd).
Найдем следующую разность:
a/b - (ac)/(bc) = (abc - abc)/(b²c) = 0/( b²c).
Результат равен нулю по определению рационального нуля, следовательно, числа a/b и (ac)/(bc) равны. Хотя формально они не совпадают – состоят из разных компонент!
Подобные числа будем считать эквивалентными. Не будем различать эквивалентные числа, считая их за один общий элемент (класс). Множество чисел вида (a, b) «укрупнилось», оно разбито теперь на классы эквивалентности.
Определение рациональных чисел придется уточнить: рациональные числа это элементы множества (пространства) классов эквивалентности упорядоченных пар целых чисел. Разумеется, его следует дополнить пояснением, в каком смысле понимается эквивалентность.
Отметим, кстати: из изложенного следует, что любое число вида (a/a), а не только (1, 1), является единицей.
Поле
На множестве рациональных чисел любое число будет обратимо относительно умножения (то есть, уравнение bx = 1 всегда имеет решение – кроме случая b = 0, конечно). Подобное множество называют полем.
Можно проверить, что все свойства сложения и умножения соблюдаются, то есть наши новые числа (рациональные) и в самом деле образуют поле.