Возможны оба написания — слитное и раздельное. Это зависит от того, в каком контексте вы употребляете слово и, соответственно, какой частью речи оно является в конкретном случае.
“Зачем” пишется слитно, когда употребляется в значении “почему”, “для чего”, “нафига” и “с какой целью интересуетесь”. В этом случае “зачем” — это наречие. Например:
— Зачем ты пришел? (то есть, “для чего?”)
— Зачем ты это сделал? (можно заменить на “почему?”)
Раздельное написание будет правильным, когда “за чем” — это местоимение с предлогом, а по смыслу речь идет о каком-то предмете, за которым что-то находится (позади), или за которым необходимо сходить куда-то и т.п. Например:
— За чем стоит дом? — За забором.
или
— За чем он поехал в магазин? — За хлебом.
