Продолжаем знакомство с числами. Предыдущий очерк здесь. Повторим его вывод.
Важным рубежом должно быть осознание того, что числа должны отвечать не на вопрос «сколько», а на вопрос «который по порядку». Именно отсюда исходит аксиоматика натуральных чисел.
В данном контексте, к примеру, число 2 – не два яблока или две счетные палочки. «Два» – следующее число после начального (единицы).
Такой подход позволяет преодолеть психологический барьер введения отрицательных чисел и нуля: дескать, числа не настоящие (непонятно, какое количество означают). Напротив, без перехода к целым числам – единица неестественно выпадает из общего строя как число, не имеющее предыдущего.
Помимо этих соображений, недостаточность натуральных чисел состоит в том, что не всякое уравнение вида a = x + b имеет в них решение. Например, не имеет решений уравнение 3 = x + 8. В то же время подобные появляются в различных задачах.
Новые числа
Потому переходят к другому множеству – множеству целых чисел, в котором всегда существует обратный элемент относительно сложения (подобное множество называют кольцом).
Заметьте: целые числа это вообще-то некоторые другие числа, не имеющие отношения к натуральным!
Элементы множества целых чисел будем условно обозначать: +a и -a, где a натуральное число. То есть, «целые» числа разбиваются на две категории – «положительные» и «отрицательные». Для чисел из разных категорий операции задаются по-разному, чем мы и займемся ниже.
Операции
Кстати, «ноль» теперь +0 или -0 (считаем одним и тем же числом). Единицей полагаем число +1.
Сложение для «целых» чисел определяется так:
(+a) + (+b) = +(a + b) – для положительных чисел;
(-a) + (-b) = -(a + b) – для отрицательных;
(+a) + (-b) = +(a - b) – смешанный случай при a>b;
(+a) + (-b) = -(b - a) – при a<b.
Определим также умножение:
(+a)(+b) = +(ab);
(-a)(-b) = +(ab);
(+a)(-b) = -(ab).
При таком определении операций сохраняются все их свойства, помните?
Мы могли бы определить операции как-то иначе, к примеру, принять, что произведение двух отрицательных чисел должно быть отрицательным. Увы, тогда не выполнялось бы свойство дистрибутивности:
(-2)[(-5)+(+4)] = (-10)+(-8) = -18 , но, в то же время:
(-2)[((-5)+(+4)] = (-2)(-1) = -2.
Изоморфизм
Возвращаясь к определению операций над целыми числами, заметим нечто важное. А именно: сложение и умножение для целых положительных чисел действует так же, как и для натуральных – правила точно те же!
Говорят, что подмножество целых положительных чисел изоморфно множеству натуральных. Потому их можно в известном смысле отождествить, считать просто совпадающими, одними и теми же. При таком подходе получается, что целые числа – результат расширения множества натуральных. Операции, определенные ранее для натуральных чисел, продолжены на более широкую сферу.
Мнемоника
Заметим еще одно. Знаки «плюс» и «дефис» при записи целых чисел это не знаки операций, а просто условные метки. Мы могли бы применить другие, например, aˉ и aˍ соответственно для положительных и отрицательных. Но именно эти удобны: являются мнемоническими приемами, подсказывающими правила вычислений.
Так, сумма положительного и отрицательного числа +8-3 подсказывает, что надо из 8 вычесть 3 (получится 5).