Как и теория графов, теория дизайна, вероятно, не та, которую любой математик мог бы ожидать от этого названия.
Когда исследователи проводят эксперимент, ошибки могут быть вызваны многими факторами. Поэтому важно несколько раз повторить эксперимент, чтобы убедиться, что эти непреднамеренные изменения не объясняют успех конкретного метода лечения.
Если проводится тестирование нескольких различных методов лечения, повторение всех этих методов многократно становится дорогостоящим и потенциально невозможным.
Одним из способов сокращения общего числа исследований при сохранении точности является тестирование нескольких методов лечения на каждом предмете в различных комбинациях.
Пример
Предположим, что у нас есть семь различных удобрений и семь садовых участков, на которых их можно попробовать.
Мы можем организовать их таким образом, чтобы каждое удобрение вносилось на трех участках, каждый садовый участок получал 3 удобрения, и любая пара удобрений использовалась вместе на одном из участков.
Если различные удобрения пронумерованы от одного до семи, то один из способов их внесения заключается в размещении удобрений 1, 2 и 3 на первом участке; 1, 4 и 5 на втором; 1, 6 и 7 на третьем; 2, 4 и 6 на четвертом; 2, 5 и 7 на пятом; 3, 4 и 7 на шестом; и 3, 5 и 6 на последнем. Таким образом, это и есть дизайн.
Изучив теорию дизайна, вы должны уметь решать следующие задачи:
- Возможно ли существование конструкции с определенным набором параметров?
- Какие методы мы можем использовать, пытаясь построить проект?
Теория кодирования
В сознании многих людей «коды» и «криптография» неразрывно связаны между собой, и на них может оказываться сильное давление, чтобы показать вам разницу.
Тем не менее, эти две темы, а также математика, связанная с ними, существенно отличаются друг от друга.
Теория кодирования - это изучение кодирования информации в различные символы. Когда кто-то использует код в попытке сделать сообщение, которое могут прочитать только некоторые люди, это становится шифрованием.
Криптографы изучают стратегии обеспечения того, чтобы код было трудно «взломать» для тех, у кого нет дополнительной информации.
В теории кодирования мы игнорируем вопрос о том, кто имеет доступ к коду и насколько он может быть секретным. Вместо этого, одной из главных проблем становится наша способность обнаруживать и исправлять ошибки в коде.
Коды используются для многих целей, где информация не должна быть секретной. Например, компьютерные программы преобразуются в длинные строки двоичных данных, которые компьютер переосмысливает как инструкции.
При отправке другу текста фотографии пиксели и цветовая информация преобразуются в двоичные данные для передачи по радиоканалу. При прослушивании файла mp3 звуковые частоты музыки преобразуются в двоичные данные, которые компьютер декодирует обратно в звуковые частоты.
Электронное кодирование всегда подвержено воздействию помех, которые могут привести к ошибкам. Чтобы избежать этой проблемы, инженеры используют коды, которые позволяют нашим устройствам автоматически обнаруживать и исправлять незначительные ошибки.
Пример
Предположим, у нас есть строка двоичной информации, и мы хотим, чтобы компьютер хранил ее, чтобы мы могли определить, возникла ли ошибка. Есть два символа, которые нам нужно закодировать: 0 и 1.
Если мы просто используем 0 для 0 и 1 для 1, мы никогда не узнаем, был ли сдвинут бит (от 0 до 1 или наоборот). Если мы используем 00 для 0 и 01 для 1, то первый бит переворачивается, и мы будем знать, что произошла ошибка (потому что первый бит никогда не должен быть 1), но мы не заметим, был ли перевернут второй.
Если мы используем 00 для 0 и 11 для 1, то сможем обнаружить ошибку.
После изучения теории кодирования вы сможете решить следующие задачи:
- Сколько ошибок может быть обнаружено при наличии кода?
- Сколько ошибок можно исправить при наличии кода?
- Построить несколько небольших кодов, которые позволяют обнаружить и исправить небольшое количество ошибок.
Можете ли вы придумать интересную задачу подсчета, которую вы не знаете, как решить?