Продолжаем знакомство с теорией множеств на элементарном уровне. Начало цикла очерков здесь, а ранее мы узнали, как вводятся в математике рациональные числа.
Здесь мы узнаем кстати, что такое пополнение множеств: тема, превращающая теорию множеств в чрезвычайно важный математический раздел - функциональный анализ.
Мы остановились на том, что рациональные числа образуют поле. Но это поле можно еще расширить! Обычно ссылаются на то, что в рациональных числах не решаются уравнения наподобие х² = 2. На самом деле потребность в дополнительных числах глубже: связана не с вычислениями (они все равно же ведутся с конечной точностью), а с вопросами анализа. В чем здесь дело?
Полнота пространства
Рассмотрим известный бесконечный ряд:
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
Будем брать суммы n членов ряда (n = 1, 2, 3...). Полученная последовательность:
1, 2, 2,5, 2,666, 2,708...
– фундаментальна. Это означает, что разность двух членов последовательности стремится к нулю с неограниченным увеличением их номеров n и m.
Но она не сходится в пространстве рациональных чисел (не имеет рационального предела)! Какое бы рациональное число ни взять, при n⟶∞ случится одно из двух.
- Либо очередное число из последовательности превысит его.
- Либо, наоборот, останется конечный зазор, который уже дальше не сократится.
Понятие сходимости и предела считаем знакомым по вузовскому курсу.
Говорят, что пространство рациональных чисел не полно. Вещественные (действительные) числа являются пополнением рациональных.
Пополнение
Переход от пространства, не являющегося полным, к его пополнению, очень важен: позволяет математикам образовывать новые объекты, которых раньше не было.
В чем состоит процедура?
1. Взамен множества элементов рассматривают множество всех фундаментальных последовательностей элементов.
2. Определяют последовательности, которые сближаются в сколь угодно малую область, как эквивалентные. Таким образом, множество последовательностей разбивается на классы эквивалентных последовательностей.
3. Рассматривают множество таких классов (фактор-множество). Оно-то и будет пополнением.
Мы получаем как будто бы совершенно новое множество – множество фундаментальных последовательностей. Но некоторые из этих последовательностей будут сходящимися, их классы соответствуют элементам исходного пространства. Потому можно считать, что прежнее множество "старых" элементов как бы является подмножеством новых.
Вводим новые числа
Применим нашу процедуру к определению вещественных (действительных) чисел, но только не торопясь, поэтапно. Есть смысл упомянуть, что математически корректное их определение было итогом долгих раздумий.
Итак, множеством вещественных чисел будем попросту считать пополнение множества рациональных чисел.
Для начала: вещественные числа – элементы множества (пространства) фундаментальных последовательностей (а₁, а₂, а₃, ...) рациональных чисел.
Как бы ни казалось странным, что числа это последовательности, придется такое принять. Если не желаем еще более экзотической идеи: что числа это сечения (сечения Дедекинда).
Определение несовершенно и требует уточнения, к чему мы придем чуть позже.
Операции для вещественных чисел определим таким образом.
Если А(а₁, а₂, а₃, ...) и В(b₁, b₂, b₃, ...) – две фундаментальные последовательности, то их суммой будем называть последовательность:
С = А + В = (а₁ + b₁ , а₂ + b₂, а₃ + b₃, ...),
а произведением – последовательность:
С = АВ = (а₁b₁ , а₂b₂, а₃b₃, ...).
Нетрудно доказать, что в обоих случаях С является тоже фундаментальной последовательностью, а значит, определения корректны.
Понятно, что вещественные числа так же, как и рациональные, образуют поле.
Рациональные и иррациональные
Между прочим, каждая из последовательностей А и В может иметь рациональный предел, и тогда операции сводятся просто к сложению и умножению пределов. Такие последовательности изоморфны рациональным числам, их можно просто отождествить, считая, что рациональные числа являются подмножеством вещественных. Хотя они и не являются таковыми буквально: ведь все элементы множества действительных чисел это бесконечные последовательности!
Если же фундаментальная последовательность не имеет рационального предела, то говорят, что она выражает иррациональное число.
Заметим: множество иррациональных чисел не составляет какого-то отдельного вида чисел, так как на нем не работают операции: и сумма, и произведение может уже не являться иррациональным числом.
Осталось добавить, что иррациональными числами на практике оперировать вообще нельзя! Их невозможно ни записать (кроме частных случаев, типа π или √2), ни провести с ними вычисления. Да это и не требуется. От них нужно лишь одно: существование, чтобы математические теории были корректны.
Эквивалентность
Разностью двух вещественных чисел будет:
С = А - В = (а₁ - b₁ , а₂ - b₂, а₃ - b₃, ...). В частном случае, данная последовательность может иметь пределом ноль.
Однако общий член С: (аᵢ - bᵢ) – при этом вовсе не обязан быть равным нулю! То есть, в общем случае, аᵢ ≠ bᵢ. Любопытно: последовательности А и В различны, но выражают одно и то же число (поскольку разность равна нулю).
Значит, как и прежде с рациональными числами, будем считать фундаментальные последовательности такого рода эквивалентными, а в нашем пространстве не будем различать эквивалентные последовательности, считая их за один общий элемент (класс). Пространство фундаментальных последовательностей «укрупнилось», оно разбито на классы эквивалентности. Помните - процедура перехода к пополнению?
Определение придется уточнить: вещественные числа – элементы множества (пространства) классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Разумеется, его следует дополнить пояснением, в каком смысле понимается эквивалентность.