Мы уже отмечали, что математические методы придают всякой науке, к которой они применяются, большую точность или эквактность. Но, если мы будем рассматривать этот вопрос в связи с развитием конкретного содержания, научно-теоретической и научно-прикладной мысли, неизбежно возникают трудности: средства,с помощью которых измеряются величины, например, длина того или иного предмета, не отвечают и не могут ответить на вопрос, является ли измеряемый предмет (измерение может быть тригонометрическим или еще более сложным) объективно-реально существующим существуют ли объективно-реально сами эти средства. Таким образом, вопреки точности математических методов, оказываются ограниченными их логико—познавательная сила и значение. Здесь вступают в свои права иные методы средства определения объективно-реальной действительности значения определяемых математической точностью предметов отношений. Оказывается, что математические истины не могут быть оценены научно помощью лишь математических методов. Если мы превратим предметы в сумму чисто математических точек, линий, плоскостей они перестают быть объективно-реальными, т. е. материальными.
Тогда, так или иначе, мы оказываемся на позициях субъективного или объективного идеализма или, в лучшем случае, агностицизма.
Повторяя, что никто не отрицает роли и значения математических методов для достижения и усовершенствования экзактности науки, мы не можем не вспомнить в данном случае, что Ленин в "Философских тетрадях" специально отметил мысль Гегеля, что "математика до ныне не была в состоянии оправдать собственными силами, т. е. математически, те действия, которые основываются на этом переходе" (переход от величин каких-то к каким-то), так как этот переход не "математической природы".
Я не случайно отмечаю именно эти мысли Гегеля о "Материализме эмпириокритицизме", рассматривая проблему причинности позиций основного вопроса философии об отношении мышления бытию, он писал: "Действительно важный теоретика-познавательный вопрос, разделяющий философские направления, состоит не в том, в какой степени точности достигли наши описания причинных связей и могут ли эти описания быть выражены в точной математической формуле, а в том, является ли источником нашего познания этих связей объективная закономерность природы, или свойства нашего ума, присущая ему способность познавать известные априорные истины и т. п. Вот что бесповоротно отделяет материалистов Фейербаха, Маркса и Энгельса от агностиков (юмистов) Авенариуса и др.
Трудно переоценить методологическое значение этих мыслей. Они непосредственно связаны с определенным решением основного или главного вопроса всякой философии об отношении между бытием и сознанием. Этот вопрос является именно основным или главным, а не единственным, он не исчерпывает всей философской проблематики. Но лишь тогда, когда мы исходим из него, становится ясной мысль, что одно — математически измерить или точно сформулировать причинное отношение между предметами, а другое — ответить на вопрос об объективно-реальном существовании причинного отношения.
Именно в этом заключается суть философской постановки вопроса и именно на него математика не может ответить иначе, как исходя из элементарных математических идей, имеющих характер субъективных образов, объективно-реальных предметов, истинность которых проверена на практике. В противном случае математические теории, гипотезы и т. п. превращаются в идеальные математические понятия, с помощью которых можно построить тот чудесный математический мир, с которым мы в последнее время все чаще и чаще встречаемся и восхищаемся и за которым исчезает объективно-реальный мир — материя.
Итак, оперирование чистыми математическими понятиями, взятыми в отрыве от объективной реальности, при незнании и неумении применить диалектику к теории познания, может привести к субъективному или объективному идеализму, агностицизму и позитивизму.
Это не означает, что диалектико-материалистическая гносеология и логика отрицают или недооценивают символы, знаки и другие подобные средства, используемые математикой. Сам Ленин, критикуя в "Материализме и эмпириокритицизме" Гельмгольца и Плеханова за их уступки символизму, способному привести к агностицизму, отмечал позднее в "Философских тетрадях", что против самих символов нельзя возразить, т. е. что они могут быть использованы при определенных условиях как математикой, так и вообще человеческой научной мыслью. Маркс считал дифференциальное исчисление оперативно-символическим, которое может привести нас к положительным выводам и открытиям. Но это возможно только тогда и постольку, когда и поскольку математические символы и знаки строятся и развиваются на основе первичных математических идей-образов и объективно-реальных предметов. При этом нельзя недооценивать и то обстоятельство, что идеи-образы чисел и геометрических фигур обозначаются цифрами и геометрическими знаками, но сами по себе они не цифры и не знаки, а именно идеи-образы.
Не останавливаясь на взглядах интуитивиста А. Бергсона и других, касающихся происхождения и значения математических чисел и фигур, отметим в заключение, что математический анализ и синтез — великое, незаменимое орудие в руках научно мыслящего и действующего человека.