В электронной таблице частные решения дифференциальных уравнений можно находить приближенно, используя для этой цели специальные численные методы. При использовании численных методов решение дифференциальных уравнений dy/dx функция f(x) представляется в табличном виде как совокупность значений yi и xi.
Наиболее простым методом для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка y’=f(x) является метод Эйлера. Однако следует иметь виду, что в практических расчетах он дает значительную погрешность. Формула Эйлера имеет вид
На практике для повышения точности используется модифицированный метод Эйлера второго порядка, который имеет следующую формулу
где h –шаг интегрирования.
Технологию решения дифференциального уравнения по методу Эйлера рассмотрим на примере.
Пример. Решить дифференциальное уравнение вида
при начальных условиях x0=0, y(x0)=1 с шагом интегрирования h=0,1 на интервале [0,1]. Заметим, что аналитическое решение этого уравнения запишется так:
Решение:
1. На рабочем листе в столбце А создадим последовательность чисел арифметической прогрессии с шагом 0,1 от 0 до 1(рис.1).
2. В ячейку D4 запишем начальное значение y= 1.
3. В ячейку В4 запишем формулу, реализующую вычисление по аналитической формуле. Результат вычисления будем сравнивать с результатами численного вычисления.
=1,5*EXP(2*A5)-A5^2-A5-0,5
4. В столбце С будем выполнять вычисления по простому методу Эйлера, а в столбце D – по уточненному методу. В ячейку С5 запишем формулу для вычисления по методу Эйлера =С4+0,1*(2*A4^2+2*D4) и скопируем эту формулу буксировкой до строки 14 включительно (рис.1).
5. В ячейку D5 запишем формулу, реализующую пересчет в соответствии с формулой модифицированного метода Эйлера:
=D4+0,5*0,1*(2*A4^2+2*D4+2*A5^2+2*C5).
Скопируем эту формулу до строки 14, там где значение x=1.
В результате вычислений получены результаты, приведенные на рис. 2.
Построим графики (рис. 3) для всех видов решений. Для уточненного метода Эйлера построим линию тренда с параметром Полиномиальная 3-й степени.
Как видим, на начальных значениях Х результаты практически совпадают. Однако далее накапливается ошибка. Ее можно уменьшить, если уменьшить шаг h. В ряде случаев при решении практических задач этой ошибкой можно пренебречь. Для более точных вычислений существуют другие численные методы, реализация которых в Excel трудоемка.