Для школьников.
Пусть вам предстоит решить задачу, в которой известно только уравнение зависимости пути (или координаты) от времени для движущегося тела. Надо подробнее описать это движение, т. е. узнать скорость, ускорение этого тела в конкретные моменты времени; узнать характер движения этого тела и т. д.
Для этого надо уметь находить производную пути по времени, производную скорости по времени. Как это делать? Об этом и идёт речь в данном занятии. Сначала уясним физический смысл математических понятий.
Итак, взяв производную пути по времени, получим выражение для мгновенной скорости движущейся материальной точки.
Аналогично, взяв производную скорости по времени, получим выражение для тангенциального ускорения
Пусть нам дано такое уравнение зависимости пути от времени:
Здесь показатель степени времени (т.е. 2) уменьшили на единицу, а 2 поставили перед символом времени.
Ниже на примере показано, как получается уравнение скорости, если известно уравнение пути.
Надо ещё получить уравнение траектории.
Попробую дать понятие производной как можно проще на примере нахождения мгновенной скорости движения тела (материальной точки). Пусть тело двигается с переменной скоростью вдоль оси Х и нам известно уравнение его движения:
За время
тело переместится на
или пройдёт путь
Тогда средняя скорость движения тела запишется так:
Если перейти к предельному случаю, когда время движения стремится к нулю (к мгновению), то от средней скорости перейдём к мгновенной:
Отношение
называется производной пути по времени. Отсюда следует физический смысл мгновенной скорости:
Мгновенная скорость - это физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени.
Теперь перейдём к определению производной, данному в математике, в "начале дифференциального и интегрального исчисления": Производной функции
в точке
называется предел отношения приращения функции
к приращению независимой переменной
при её стремлении к нулю:
Производная в точке есть определённое число, равное тангенсу угла наклона касательной к графику.
Вернёмся к нашему примеру нахождения мгновенной скорости тела, движущегося вдоль оси х с переменной скоростью.
Вдоль оси абсцисс откладываем время, вдоль оси ординат - пройденный телом путь. Тогда наша кривая покажет зависимость пути от времени движения тела вдоль оси х.
Проведя касательную к нашему графику в некоторой точке, найдём тангенс угла, то есть найдём мгновенную скорость тела (материальной точки) в данный момент времени
К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Спасибо.
Предыдущая запись: Решение задач 3 и 4 на равнопеременное движение
Следующая запись: Занятие 7
Первая запись: Занятие 1.