Когда я училась в 8 классе, во второй четверти я получила 2 по алгебре и 2 по геометрии. Алгебра — это отдельная история, а с геометрией произошло вот что — я всё никак не могла научиться решать одну и ту же задачу.
В этой статье я расскажу 4 способа решить ее, чтобы больше никто не пострадал.
Задача
В треугольнике ABC проведены отрезки AD и BE. BD:DC=2:3, AE:EC=1:5. Найдите отношения AO:OD и BO:OE.
Вот и вся задача. Числа всякий раз были разные. Я писала самостоятельную работу на 2, переписывала ее на 2, снова переписывала снова на 2.
А как надо было решать?
Во второй четверти 8 класс обычно проходит теорему Фалеса. Если вы ее не помните, сейчас напомню по ходу решения.
Проведем DF — прямую параллельную BE. По обобщенной теореме Фалеса параллельные прямые высекают на сторонах угла отрезки, которые соотносятся одинаково.
Если на одной стороне угла BD:DC=2:3, то и на другой то же самое отношение EF:FC=2:3. То есть если EF=2z, то FC=3z. Вместе они 5z = EC = 5y. Значит y=z.
Теперь применим теорему Фалеса еще раз к углу DAF и тем же прямым. AE:EF=y:2z=1:2, значит AO:OD = 1:2.
BO:OE найдите сами и напишите в комменты.
А как еще можно решать?
Желтая площадь относится к зеленой, как 2:3. То есть если желтая 2S, то зеленая — 3S, вместе они — 5S. Красная площадь к площади треугольника OBC относится как 1:5 (Знаете почему?), поэтому красная площадь равна S.
Осталось заметить что AO:OD равно отношению красной площади к желтой, то есть 1:2.
BO:OE найдите сами и сравните с полученным по теореме Фалеса.
Надеюсь, алгоритмы Дзена не увидят тему «Политика» в упоминании красной площади.
Способы для самых крутых
Следующие два способа для самых продвинутых читателей, знакомых с теоремой Менелая и методом центра масс.
По теореме Менелая (просто поверьте)
AO/OD · DB/BC · CE/EA = 1
то есть AO/OD · 2/5 · 5/1 = 1, отсюда AO/OD=1/2.
Проверьте, для BO:OE сработает?
Ну а массами всё вообще очевидно, смотрите:
Центр масс всего треугольника тогда в точке O. Значит AO:OD = 1:2, потому что в точке A масса 10, а в точке D — 5 (сумма масс в точках B и D).
Кстати, заодно сразу видно, что BO:OE=12:3=4:1. Кто досюда дочитал, может проверить ответы из предыдущих способов решения.
Какой способ вам больше всего нравится?
Послесловие
В третьей четверти 8 класса мы проходили подобие треугольников. И мне так понравилось, что теперь мне не нужна ненавистная теорема Фалеса, я могу те же задачи решать с помощью подобия! Я старательно делала домашние работы и 4 в четверти получила.
А вот эту самую задачу научилась решать только тогда, когда преподавать начала.