Известно, что производной функции является предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
В одной из статей (https://zen.yandex.ru/media/id/5d4d8e658da1ce00ad5ece61/chislennoe-vychislenie-predela-funkcii-v-ms-excel-5d9b16d5bd639600b059d17a) рассматривалась технология численного вычисления предела функции, где было отмечено, что компьютер не может оперировать понятиями «стремиться к бесконечности или стремиться к нулю». Поэтому для приближенного вычисления производной функции в заданной точке применяют формулы конечных разностей.
Вычисление производной в точке
Выражение для вычисления производной функции одного переменной в точке xk, записанное в конечных разностях, имеет вид:
где Δx – очень малая конечная величина.
При достаточно малых значениях Δх, можно с приемлемой точностью получить величину производной функции в точке. Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную выше формулу. Рассмотрим технологию вычисления производной на примере.
Пример. Найти производную функции
в точке x=3. Заметим, что производная приведенной функции в точке x=3, вычисленная аналитическим методом, равна 60 – это значение нам понадобится для проверки результата, полученного путем вычисления численным методом в электронной таблице.
Решение:
Способ 1
1. Введем в ячейку рабочего листа формулу правой части заданной функциональной зависимости, например в ячейку В2, как показано на рис. 1, делая ссылку на ячейку, где будет находиться значение х, например А2:
= 2*А2^3+A2^2
2. Зададим окрестность точки х=3 достаточно малого размера, например значение слева Х k = 2,9999999, а значение справа Хk+1 = 3,00000001 и введем эти значения в ячейку А2 и А3 соответственно.
3. В ячейку С2 введем формулу вычисления производной (рис. 26):
= (В3-В2)/(A3-A2)
В результате вычисления в ячейке С2 будет выведено приближенное значение производной заданной функции в точке х=3, величина которой равна 60, что соответствует результату, полученному аналитически.
Способ 2
1. Введем в ячейку рабочего листа (А2) заданное значение аргумента, равное 3, в другой ячейке (В2) укажем достаточно малое приращение аргумента - (1E-9), в ячейку С2 введем формулу для вычисления производной:
=((2*(A2+B2)^3+(A2+B2)^2)-(2*A2^3+A2^2))/B2
2. После нажатия клавиши Enter получим результат вычисления 60,0000 (Рис. 2).
Как видим, результат получен такой же, как и при первом способе. Приведенный второй способ является более предпочтительным в случаях, когда нужно построить таблицу значений производной функции для заданных значений аргумента.
Построение графика производной и вывод формулы
положим нам надо выяснить как ведет себя исходная функция и ее производная на интервале значений аргумента (-3; +4,2)
Для построения графика функции и графика производной выполним следующие шаги:
!. Введем в ячейку А2 значение левой границы интервала -3 и сделаем последовательность с шагом 0,3 до значения 4,2 (рис. 3).
2. В ячейку В2 введем функцию в терминах Excel: =2*A2^3+A2^2 и скопируем ее до значения аргумента, равного 4,2.
3. В ячейку Е2 введем малое значение приращения аргумента 1,00E-09.
4. В ячейке С2 введем формулу вычисления производной (см. Способ 2):
=((2*(A2+$E$2)^3+(A2+$E$2)^2)-(2*A2^3+A2^2))/$E$2
Обратите внимание, что ссылки на ячейку, в которой записано приращение аргумента Е2 являются абсолютными. (чтобы сделать ссылки абсолютными, следует их выделить затем нажать клавишу F4).
5. Скопируем буксировкой введенную формулу во все ячейки до значения аргумента, равного 4,2 (рис.3).
Таким образом, мы получили табличные значения функции и ее производной.
6. Построим графики функции и ее производной. Для этого:
- выделим всю полученную таблицу вместе с заголовками;
- на ленте Вставка в группе Диаграммы выберем График и далее Все типы диаграмм;
- в диалоговом окне Вставка диаграммы выберем Точечная и кликнем на ОК. На рабочий лист будет выведена диаграмма (рис.3).
Для вывода аналитической формулы производной выполним действия:
- включим контекстное меню на линии графика производной и выберем пункт Формат линии тренда;
- в открывшемся окне диалога Формат линии тренда установим параметры линии тренда - Полиномиальная, Степень 2;
- кликнем на кнопке Закрыть диалогового окна Формат линии тренда - будет выведено аналитическое представление функции производной (Рис. 4):
Действительно, если вычислить аналитически функцию производной от исходной функции, то она будет такой же.