В прошлом месяце в статье под рубрикой «Наука вокруг нас» Джирл Уолкер показал, как с помощью простого математического исследования можно установить, будет ли держаться данный узел или развяжется. А этом номере моя статья посвящена топологии узлов. С точки зрения топологии узлы — это замкнутые кривые в трехмерном пространстве. Полезно моделировать их при помощи веревки или шнура и строить их проекции на плоскости.
Если возможно проделать такое преобразование над замкнутой кривой (разумеется, не допуская, чтобы она проходила сквозь саму себя), что ее проекция на плоскость будет кривой без точек пересечения, тогда узел называется тривиальным. В таких случаях говорят, что кривая не заузлена. Некоторое представление о глубине и богатстве этой темы дает замечательная статья Ли Нейвирта «Теория узлов», напечатанная в журнале Scientific American (июнь 1979 г.). Здесь же мы затронем только некоторые наиболее заманчивые аспекты теории узлов: головоломки и занимательные факты, понимание которых требует лишь самых элементарных представлений об этом предмете.
Начнем с вопроса, который хотя и тривиален, но может застать врасплох даже математика. Завяжите узел из куска веревки, как показано на рисунке слева. Если представить себе, что концы этой веревки соединены, то узел, который мы завязали, в теории называют трилистником. Он является простейшим из узлов в том смысле, что схематически его можно изобразить с минимальным числом скрещений, т. е. тремя. (Ни один узел не имеет меньшего числа скрещений, за исключением тривиального, у которого нет ни одного скрещения.)
А что если конец А веревки пропустить через петлю сзади, а потом потянуть за концы? Ясно, что узел развяжется. Теперь предположим, что конец веревки дважды пропущен через петлю, как показано пунктирной линией. Развяжется ли узел, если потянуть за концы? Большинство считает, что образуется другой узел. На самом деле, как и в предыдущем случае, узел развяжется. Чтобы получился другой узел, конец надо трижды пропустить сквозь петлю.
Если вы это сделаете, то увидите, что полученный таким образом новый трилистник не такой, как первый. Это его зеркальный двойник. Трилистник является простейшим узлом, который нельзя перевести в его зеркальный двойник при помощи манипулирования с веревкой. Следующий по простоте, единственный узел с четырьмя скрещениями, — это «восьмерка» (на рисунке справа). В этом виде его легко превратить в зеркальный двойник — просто поверните рисунок вверх ногами. Узел, который с помощью манипуляций можно превратить в его зеркальный двойник, называется амфихиральным, потому что он напоминает резиновую перчатку, которую, вывернув наизнанку, можно надеть на другую руку.
После восьмерки следующий по сложности амфихиральный узел имеет шесть скрещение и является единственным узлом такого типа с шестью скрещениями. По мере увеличения числа скрещение амфихиральные узлы получаются все реже. Вторым важным способом подразделения узлов на два класса является разделение их на альтернирующие и не альтернирующие узлы. Альтернирующим узлом называется узел с такой схемой, что если следовать по ней в любом направлении, то в месте скрещений вы по очереди будете проходить над и под веревкой.
Альтернирующие узлы имеют массу замечательных свойств, которыми не альтернирующие узлы не обладают. Существует еще одно важное разбиение — на простые и сложные узлы. Простым узлом называется такой, который нельзя с помощью манипуляций превратить в два или более отдельных узла. Например, «сквер-узел» и «бабушкин узел» не являются простыми, потому что каждый из них можно превратить в два последовательно завязанных трилистника. Сквер-узел это «произведение» трилистника и его зеркального двойника.
Бабушкин узел — произведение двух одинаковых трилистников и поэтому (в отличие от сквер-узла) является амфихиральным. Оба узла альтернирующие. В качестве простого упражнения, решение которого будет помещено в следующем номере, попробуйте нарисовать сквер-узел с шестью (как минимум) альтернирующими скрещениями. Все простые узлы с семью или менее скрещениями — альтернирующие. Среди узлов с 8 скрещениями только три на верхнем рисунке слева не альтернирующие.
Сколько бы вы ни крутили веревочную модель одного из этих узлов, вам не удастся заставить его плоско лежать, приняв вид альтернирующей схемы. Четвертое основное разбиение на два класса — это разбиение на обратимые и необратимые узлы. Вообразите, что вы нарисовали на завязанной в узел веревке стрелку, указывающую направление кривой. Если возможно так преобразовать веревку, чтобы структура узла осталась прежней, а стрелка указывала в противоположном направлении, то узел обратимый.