Модель Леонтьева
Каждая отрасль многоотраслевого хозяйства с одной стороны является производителем определенной продукции, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и потреблению между отдельными отраслями. Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме балансовые соотношения имеют вид xi=xi1 + xi2 + … + xin + yi , i=1, 2, …, n. где xi – общий объем выпускаемой продукции i–й отрасли; xij – объем продукции i–й отрасли, потребляемый j –й отраслью при производстве объема продукции xj; yi – объем продукции i–й отрасли конечного потребления (для реализации в непроизводственной сфере). Для производства продукции j –й отрасли объемом xi нужно использовать продукцию i –й отрасли объемом aijxi , где аij – постоянное число, характеризующее прямые затраты. Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид
где x- вектор валового выпуска;
y- вектор объема продукции конечного потребления;
A - матрица коэффициентов прямых затрат. Приведенная система уравнений может быть представлена в виде
где E – единичная матрица.
Если существует обратная матрица (матрица полных затрат),
то существует единственное решение системы в виде
Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы А:
1) матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица
существует и ее элементы неотрицательны;
2) матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, при чем хотя бы для одного столбца (строки) строго меньше единицы.
Рассмотрим пример решения задачи на применение модели Леонтьева.
Пример. В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями.
Требуется найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить ее продуктивность.
Решение:
1. В диапазон ячеек рабочего листа (B3:F7) введем числа, записанные в столбцах “Потребление” исходной таблицы.
2. Введем в диапазон ячеек (H3:H7) значения вектора X, который соответствует последнему столбцу исходной таблицы (см. рис.1).
3. Введем в диапазон (I3:I7) значения вектора Y - вектор конечного продукта.
4. Матрица прямых затрат А вычисляется путем деления i – того столбца матрицы “Потребление” на i – ую строку вектора Х. Это вычисление можно выполнить используя формулу А= П/Хт, где П – матрица “Потребление”.
5. Выделим диапазон ячеек, в котором будет размещаться матрица А и введем в него формулу деления массива “Потребление” на транспонированный “Вектор Х ”: = B3:F7/ТРАНСП(H3:H7) (см рис.) и нажмем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter. После выполнения этой операции в выделенном диапазоне будут вычислены значения элементов матрицы А.
6. Просуммируем столбцы полученной матрицы, используя автосуммирование. Значения элементов полученной матрицы положительные, следовательно, первый критерий продуктивности матрицы выполняется. Однако значения сумм в третьем и четвертом столбцах больше единицы, следовательно, второй критерий продуктивности не выполняется. Таким образом, матрица полных затрат для условий рассматриваемой задачи является непродуктивной.