Морские узлы служат для соединения двух канатов или каната с каким-либо предметом. Одинакова ли надежность у разных узлов? Можно ли к узлу прилагать неограниченные нагрузки, не опасаясь, что он самопроизвольно развяжется, что свободный конец каната проскользнет сквозь все переплетения узла? Есть ли способы изменения традиционных узлов, чтобы они могли выдерживать более тяжелый груз?
Отвечая на эти вопросы, я буду руководствоваться интереснейшей статьей Бенджамина Ф. Бэймена из Миннесотского университета, в которой изложена теория прочности морских узлов. Надежность узла зависит прежде всего от того, как канат огибает предмет, и от того, как его витки наложены друг на друга (первое назовем «охватом», а второе — «нахлестом»). Охват и нахлест обеспечивают ту силу трения, которая удерживает узел, когда канат оказывается под нагрузкой. При отсутствии трения канат скользил бы внутри узла, пока тот не развязался.
Ограничимся рассмотрением узлов, связанных из каната средней толщины на более толстом стержне. Какие величины силы трения в охватах и нахлестах узла позволят ему выдержать сколь угодно большой груз? Некоторые узлы лучше приспособлены к нагрузке, приложенной перпендикулярно стержню, другие рассчитаны на усилия, действующие в продольном направлении. Одни, хотя и подвержены постепенному распусканию, могут удерживать груз в течение весьма длительного времени, другие желательно использовать, когда приложенная нагрузка периодически меняется. Однако эти свойства мы не станем принимать во внимание. Не будем также учитывать и ту дополнительную прочность узла, обусловленную трением соседних участков каната друг о друга (если речь идет не о нахлесте).
Основные силы трения в узле обеспечивают нахлесты и охваты. Представим, что на канате подвешен некоторый груз, — таким образом нам будет легче уяснить ту роль, которую играет натяжение каната, находящегося под нагрузкой. Под натяжением понимается то, что на любой сколь угодно малый отрезок каната с его соседних участков действуют противоположно направленные силы. В нашем случае натяжение постоянно по всей длине каната. Следовательно, если всю систему считать находящейся в равновесии, сила, приложенная в верхней части каната, должна быть равной весу груза, закрепленного на его нижнем конце.
Теперь вообразим, что для удержания этого груза мы перекинули канат через неподвижно закрепленный горизонтальный стержень. Вдоль отрезка каната от груза до стержня натяжение постоянно, однако в той его части, которая облегает стержень, натяжение изменяется, убывая по мере удаления от стороны, на которой подвешен груз. Натяжение вдоль отрезка между стержнем и вашей рукой снова оказывается постоянным, однако оно уже меньше натяжения на участке между грузом и стержнем.
Поскольку канат трется о стержень, не требуется прилагать силу, равную весу груза. Сила трения между канатом и стержнем зависит как от шероховатости соприкасающихся поверхностей, так и от того, на какой длине канат прилегает к стержню. Накинув несколько витков каната на стержень, можно выиграть в силе — прием, хорошо известный альпинистам и морякам. Каждый дополнительный виток позволяет уменьшить силу, прикладываемую для удержания груза.
Трение возникает и в тех случаях, когда витки накладываются друг на друга. При натяжении каната верхняя часть нахлеста прижимает нижний виток к поверхности стержня. Это сжатие удерживает канат от скольжения. Чем туже нахлест, тем сильнее трение. Узел можно считать надежным, если возникающее в нем трение предотвращает скольжение участков каната, прилегающих к стержню. Узел должен быть таким, чтобы возникающая в нем сила трения могла уравновесить натяжение со стороны груза. Предположим, нагрузка постепенно увеличивается.
Дойдет ли натяжение до таких значений, что свободный конец каната начнет проскальзывать через узел, или же возрастающая нагрузка будет увеличивать силу трения, так что узел не развяжется никогда? Если сила трения возрастает, узел можно считать само-затягивающимся. Под чрезмерной нагрузкой скорее оборвется канат, чем развяжется такой узел. Надежность узла определяется его топологией, а также возникающей в нем силой трения.
Пусть охват состоит из целого числа оборотов вокруг стержня. С одной стороны натяжение каната больше, чем с другой. Большее натяжение обозначим Т/2, а меньшее — Т/1 Канат не будет проскальзывать по стержню, если Т/2 не превосходит Т/1, помноженное на некоторый множитель. Этот множитель представляет собой экспоненциальную функцию двух аргументов — угла (в радианах), на котором канат прилегает к стержню, и коэффициента трения между ним и стержнем.
Если канат образует один полный оборот вокруг стержня, указанный множитель равен экспоненте от 2п радиан, умноженных на коэффициент трения. Запишем эту функцию как е. Когда Т/2 меньше, чем е • Т/1, канат не будет проскальзывать. Если же Т/2 превзойдет эту величину, трение не сможет предотвратить проскальзывание каната.