Продолжаем дилетантское знакомство с теорией множеств. Ранее мы упомянули о бесконечных множествах и их сравнении при помощи понятия мощности множества.
Множество вещественных чисел имеет мощность бо́льшую, чем множества натуральных чисел (счетного) – мощность континуума. Что относится не только к множеству чисел на всей числовой оси, но и к множеству на ограниченном промежутке (например, отрезке [0, 1], который так любят рассматривать математики).
Роковая тайна или «очень много»?
Продолжаем рассматривать бесконечные множества. Не "с бесконечным числом элементов", а бесконечные! В теории множеств вообще не говорят о количестве элементов. Тем более о бесконечном; числа «бесконечность» не существует. Множества сравнивают только по мощности. Кантор вводил еще одну характеристику для множеств: ординальное число (нам не понадобится).
У начинающих отношение к бесконечностям двоякое. С одной стороны, «бесконечность» кажется мистикой, и тянет на философствование. С другой – бесконечности привычны даже по школе, представляются чем-то естественным, наглядным: бесконечность – как бы «очень-очень много».
Ошибочно и то, и другое. Ничего таинственного в бесконечных множествах нет, это математические объекты (абстрактные – как и любые другие в математике).
Однако они отнюдь не сводятся к обиходным представлениям, а вводятся строго. Постулируют существование множеств, из которых можно сколько угодно раз изымать по одному элементу – мощность не изменится. Их-то и называют бесконечными. Пока что просто термин; мы даже не знаем, «больше» они конечных множеств, или нет – странно, да?
Впрочем, опираясь на определение, легко доказать, что бесконечное множество содержит конечное подмножество любой заданной мощности. То есть мощность бесконечного множества и в самом деле «больше», чем мощность любого конечного. Но оно вовсе не вытекает из «лингвистики», из смысла слова. Это – теорема.
Больше бесконечного
Существуют множества и "больше" континуума, ряд мощностей неограничен. Сейчас (не поверите!) мы докажем важную теорему: множество всех подмножеств Х имеет мощность, большую мощности Х.
Для лучшей доступности возьмем игрушечную модель. Множество Х будет у нас коллективом людей. Его подмножества назовем группами. Предположим, у каждого члена коллектива есть на примете уникальная группа, членов которой он считает умными людьми. И обратно, для любой группы, избранной из коллектива, существует один и только один человек, считающий ее группой умных. Вот вам и биекция - взаимно-однозначное соответствие. Мы легко докажем, что предположение биекции приводит к противоречию.
Выделим множество людей, не включивших в группу умных самого себя – назовем их скромниками. Остальные (нескромные) причисляют к умным и себя тоже. Для группы всех скромных, как для любой, по условию существует некто, относящий данную группу к умным. Зададим простой вопрос: этот «некто» скромен или нет?
На вопрос не существует ответа! Если он скромный, то должен числиться в подмножестве скромных… но скромный не вправе фигурировать в своей группе умников! Аналогично и нескромный не проходит.
Получается «парадокс брадобрея», который бреет тех, кто не бреется сам, так что неясно, должен ли он брить себя. Разновидность так называемой антиномии Рассела.
Вероятно, я должен заключить текст словами: ставьте лайки, подписывайтесь на канал... Но ведь вы подобное уже тысячу раз читали в других местах, не так ли?