Аннотация
Сосуществование состояний является неотъемлемой характеристикой при наблюдении за доменными стенами, интерфейсами, ударными волнами или фронтами в макроскопических системах. Распространение этих нелинейных волн зависит от относительной стабильности связанных равновесий. В частности, ожидается, что стабильное равновесие будет наступать на неустойчивую, например, при горении, при распространении постоянных инфекционных заболеваний или при замораживании переохлажденной воды. Здесь мы показываем, что нестабильное состояние в целом может вторгнуться в локально стабильное состояние в контексте систем шаблоно-образования. Происхождение этого явления связано с тем, что низкоэнергетическое нестабильное состояние вторгается в локально стабильное, но высокоэнергетическое состояние. На основе одномерной модели мы выявляем особенности, необходимые для наблюдения за этим явлением. Данный сценарий реализуется в случае пространственной нестабильности первого порядка. Эксперимент по фотоизомеризации нематического жидкого кристалла, легирующего краситель, позволяет наблюдать фронтальное распространение из нестабильного состояния.
Введение
Физические системы, далекие от термодинамического равновесия, характеризуются наличием сосуществования состояний , то есть для одних и тех же параметров наблюдаются различные равновесия. Вследствие исходных условий, изменения физических параметров или собственных флуктуаций, эти системы демонстрируют домены между различными состояниями. Регион, разделяющий эти области, обычно называется интерфейсом, стеной или фронтом, в зависимости от изучаемого физического контекста. Эти интерфейсы, в целом, носят пропагандистский характер и могут иметь сложную динамику. Феномен распространения фронтов носит сквозной характер и варьируется от биологии, химии до физики. Эти решения соответствуют нелинейным волнам. Действительно, не существует принципа суперпозиции, а интерфейсы имеют четко определенную форму.
Изучение и характеристика фронтов лежат в основе Нелинейной физики. Исследования распространения пламени Фарадея и распространения генов Фишера и Колмогорова, Петровского и Пискунова являются пионерскими работами в понимании этого явления. Скорость фронта зависит от стабильности подключенных состояний. В случае соединения двух устойчивых фронтов - бистабильных - более стабильное государство вторгается в меньшее, со скоростью, пропорциональной разнице в энергии между состояниями. Следовательно, изменяя параметр, можно выровнять энергию между состояниями и фронтами, которые становятся неподвижными, что соответствует точке Максвелла. Предыдущий сценарий радикально меняется при рассмотрении фронтов между стабильным и нестабильным состоянием. Фронтами такого рода являются процессы сгорания, распространение инфекционных заболеваний, таких как СПИД среди населения или постоянные инфекционные заболевания. Одной из основных характеристик этих нелинейных волн является то, что стабильное состояние проникает в неустойчивое, т.е. горение переходит в негорючее вещество. Теоретически изучались фронты между нестабильными государствами, которые выступают как промежуточный фронт между стабильным и нестабильным состоянием, "двойные фронты".
Цель этой буквы - показать, что нестабильное состояние в целом может вторгнуться в стабильное состояние в контексте систем формирования шаблонов. Теоретически, с помощью одномерной реакционно-диффузионной модели определены минимальные условия для наблюдения за распространением нестабильного однородного состояния в стабильное. Эти условия соответствуют сосуществованию государств, но нестабильное состояние должно быть энергетически более благоприятным, чем стабильное. В двух пространственных измерениях это условие выполняется в случае подкритической пространственной нестабильности. Прототипная модель формирования образца демонстрирует распространение фронтов из нестабильного состояния. На основе фотоизомеризации нематического жидкого кристалла, легирующего краситель, мы можем наблюдать это фронтальное распространение.
Результаты
Распространение одномерного фронта из нестабильного состояния
Рассмотрим одномерное скалярное поле u(x, t), удовлетворяющее безразмерному уравнению реакции-диффузии.
∂tu=-∂V∂u++∂xxu+ζ√ξ(x,t),
где V(u) - это потенциал, характеризующий динамичное развитие u. Рассматривая потенциал сосуществования стабильного и нестабильного государства. На рисунке 1a показан типичный потенциал.
ξ(x,t) - гауссовский белый шум с нулевым средним значением и коррелированной дельтой. Параметр ζ учитывает интенсивность уровня шума.
Нестабильное и стабильное равновесие представлено символами А и В соответственно. Стабильное и нестабильное равновесие характеризуется тем, что является локальным минимумом и максимумом/седью потенциала. Следовательно, в стабильном состоянии всегда меньше энергии, чем в неустойчивом равновесии. Бесшумная модель эквалайзера, имеет фронтальное решение, соединяющее равновесные состояния, распространяющиеся с постоянной скоростью для минимизации энергии. Рассмотрим многоступенчатую систему, которая имеет два стабильных состояния, неустойчивое равновесие, равновесие, равновесие, равновесие, равновесие, которое составляет полтора стабильных состояния. Половина стабильного равновесия - это состояние, в котором одна сторона привлекательна, а другая - отвратительна. То есть половина стабильного равновесия соответствует нелинейной нестабильной точке седла. Обратите внимание, что это равновесие не является генерическим, так как требует наложения фиксированной точки седла. На рисунке 1b показан связанный с этим потенциал.
Стабильное равновесие представлено символами С и В, нестабильное с половиной стабильное состояние - символами D и A соответственно. В зависимости от исходного состояния, эта система может представлять различные нелинейные волны между состояниями равновесия. В этом сценарии наблюдается интригующий и неожиданный фронт, соединяющий стабильное состояние B и равновесие седла A. Нестабильное стабильное состояние A противо-интуитивно проникает в стабильное равновесие B. Рис. 1b иллюстрирует распространение этого фронта.
Нестабильное состояние А вторгается в стабильное состояние Б, потому что оно энергетически более благоприятно. Учитывая дополнительный шум, мы наблюдаем, что фронт между А и В штатами распространяется, однако позднее появляется дополнительный фронт между стабильным и седловым штатами А. Наконец, штат С вторгается в штат А и Б. Действительно, распространение фронта из нестабильного в стабильное состояние является переходным явлением, поскольку физическая система должна стремиться к своему глобальному равновесию. Обратите внимание, что если изменить полу-стабильное состояние A на локально стабильное с одинаковой энергией, то фронт между B и A остается неизменным. Однако этот сценарий резко меняется, если учитывать шум.
Включение собственных колебаний (ζ ≠ 0) в дифференциальные уравнения дает более реалистичное описание макроскопических систем. Колебания приводят к нарушению неустойчивого равновесия и распространению фронтов. Действительно, флуктуации порождают появление фронтов в различных пространственных местах. Типичное время появления фронтов пропорционально логарифмическому уровню шума. Таким образом, фронт будет наблюдаться без помех от колебаний, в то время как время наблюдения меньше, чем это характерное время. На рис. 2 показано распространение фронта в неустойчивое состояние, полученное при численном моделировании эквалайзера с V(u) = u6/6 - 0.7u5/5 - u4/4 + 0.7u3/3 и дополнительным гауссовым белым шумом. Первоначально система готовится в стабильном состоянии u = 1, затем на одном конце пространственной области вводится возмущение, вызывающее фронт между нестабильным (A) и стабильным (B) состоянием. Впоследствии, после характерного времени колебаний в состоянии А, флуктуации вызывают фронт между состояниями А и С, который сосуществует с фронтом между стабильным и нестабильным состоянием. Затем формируется фронт между состоянием B и C. Мульти-стабильные системы характеризуются богатым разнообразием фронтов и динамики среди них.