Всем привет, сегодня я покажу как доказывается теоремы косинусов, синусов. Для понимания достаточно знать такие понятия, как центральные углы в окружности, теорема Пифагора и всё.
Теорема Синусов.
Нам дан треугольник ABC со сторонами a,b,c
Существует факт, что около любого треугольника можно описать окружность(если интересно как это доказывается, то пишите в коментах, выпущу отдельную статью). Следовательно, опишем эту самую окружность c центром O, и пусть её радиус равен R
Теперь делаем трюк, продлеваем AO до пересечения с окружностью в точке K
Думаем что такое AK? AK - хорда, которая проходит через центр, а значит AK - это диаметр, т.е. два радиуса - 2R.
Соединяем BK, => угол ABK = 90 градусов, т.к. опирается на диаметр AK.
Помимо этого, равны и обозначенные уголки, т.к. они опираются на одну и ту же дугу AB.
Назовём синий уголок Альфа и найдем его синус из прямоугольного треугольника ABK.
Вот и вся теорема синусов, для сторон b и c и противолежащих им углов соответственно доказывается аналогично, попробуйте сами доказать это, продлите OC, BO до пересечения с окружностью.
Теорема Косинусов.
Дан треугольник ABC со сторонами a,b,c, угол между a и b = альфа.
Теперь из точки A опустим высоту на сторону BC
Рассмотрим треугольник ABH
Нам нужно найти катеты BH и AH. Как мы можем это сделать, зная только одну сторону a, и угол между AB и BH? Ответ прост, просто запишем косинус угла альфа и выразим BH.
Теперь найдем AH через синус точно также
Вернемся к исходному треугольнику ABC, найдем HC, HC = BC - BH
HC нашли, теперь рассмотрим треугольник AHC, в котором мы знаем все стороны, напишем теореме Пифагора:
Далее преобразовываем выражение, избавляемся от синуса в левой части с помощью основного тригонометрического тождества.
a^2 *cos^2 a взаимно уничтожаются и так получается теорема косинусов.
Спасибо за внимание. Если понравилась статья, подписывайтесь на канал.