Возьмем замкнутую систему из n частиц (для простоты предположим, что это частицы газа в сосуде, причем молярная масса газа равна 1), каждая из которых имеет m степеней свободы (эти степени свободы – всевозможные перечисления координат m(q) и импульсов m(p)). Тогда очевидно, что микросостояний системы будет m^n. Сделаем допущение, что эта система частиц находится в резервуаре, с которым она обменивается теплом, т.е. это незамкнутая по температуре система.
Энтропия, как мы уже и писали, определяется по формуле Больцмана
Теперь мы возьмем этот сосуд с газом и резко растянем вдвое вдоль одной стенки (например, потянем за поршень в цилиндре). Тогда у нас будет вдвое больше возможных координат 2m(q), а возможное количество импульсов будет по прежнему m(p). Число микросостояний теперь будет 2^n *m^n.
И энтропия при таком преобразовании будет
Сделаем примечание – при таком процессе частицы газа не совершали работу. Они не толкали поршень, мы его сами сдвинули. Поэтому V2=2V1, а Т2=T1, т.е. этот процесс оказался изотермическим. Приращение энтропии будет
Упростим выражение, воспользовавшись свойством логарифма:
В термодинамике же энтропия определяется как
Вспомним, как найти ∆Q:
Здесь С – теплоемкость. Разделим это выражение на Т:
Процесс у нас изотермический, поэтому первое слагаемое обнуляется, получаем
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона
Тогда получим
R для газа, молярная масса которого условно равна 1, как раз и будет nk, а dV у нас по условию задачи равно 2. К чему мы пришли? К той же самой формуле, только выводили ее двумя разными способами – сначала статистическим, потом термодинамическим.