Что такое «первая космическая скорость»?
Почему снаряд падает на землю, а ракета летает вокруг Земли и не падает?
Как ни странно, эта тема возникла, когда я пытался понять, как объяснить, что такое вектор и разложение сил в вектор. Почитал «штатные» определения вектора, из википедии, из учебников – блин, хрен чего поймешь. Попробуем пока про вектор забыть и, давайте, про ракету. Интереснее, а результат лучше.
Короче, сначала, как обычно, история. Прохалявил я первый курс, развлекаясь в секции самбо, переводя подпольный учебник по карате с испанского (а испанский вариант был переводом с японского), печатал его на машинке «Москва» (большая редкость! На машинку тогда разрешение надо было получать, но папа имел право) в пяти экземплярах через копирку, да врисовывал туда каратистов от руки, насобачился рисовать фигурки в разных позах, что твой Малевич или Рафаэль. За «самыздатный» учебник по боевым искусствам аж две статьи тогда было в уголовном кодексе – за самиздат и за боевые искусства отдельно. Все серьезно. Ну когда тут учиться?
В общем, как та стрекоза, подошел к экзамену по физике с прекрасной пустой черепной коробкой. Физику я терпеть ненавидел, формулы особенно. Что делать студенту? Да шпор настрогал, насовал по разным местам и с довольной мордой приперся в аудиторию, как щаз помню, 501-ю, на 5-м этаже в МВТУ им. Н.Э.Баумана. Тяну билет – ну, первый вопрос промычу, второй проблею, а третий – задача. Вывести первую космическую скорость. Мы же ракетчики! А у меня и шпора есть! Иду повыше (аудитория огромная и наклонная), от препода подальше (у нас был легендарный Ермолаев, на одной ноге, с костылем). Сажусь, лезу за шпорой, достаю… и роняю на фиг! И моя свернутая в тугой комочек шпора по ступенечкам так вниз: прыг…прыг…прыг…стук…шмяк… - и прямо под ноги преподу внизу. Он, правда, не заметил – ну, бумажка упала и упала – но ведь не пойдешь, не скажешь, извините, мол, товарищ лектор и уважаемый преподаватель, я тут шпорку выронил случайно, ща ее подгребу и пойду перепишу ответик… А без задачки с учетом мычания и блеянья на первые два вопроса – это светит четкий «банан», как почему-то у нас называли два балла в зачетку. Такая вот фигня.
И погиб казак, покатилась его голова, хлопая очами, как написал бы Гоголь… Но захотелось выкручиваться. Сел я, засунул в нос карандаш по самые извилины и стал думать.
И вдруг вспомнил любимого мною Я.И.Перельмана и задачку про пулю. Если считать, что земля плоская, и выстрелить пулей параллельно земле с такой-то скоростью – ну, пусть, триста метров в секунду (сопротивление воздуха не учитывать), то как узнать время, когда она упадет на землю? И как узнать, какое расстояние она пролетит? Да хрен ее знает, где она там упадет и сколько пролетит!
А товарищ Перельман, со свойственной ему четкостью, объясняет: не морочьте себе голову, что пуля летит куда-то вбок. Она ведь одновременно притягивается землей, значит, падает вниз, правильно? И если мы с высоты один метр одновременно выстрелим вперед, параллельно (плоской) земле, и выпустим с той же высоты в один метр вторую пулю просто падать, то обе пули упадут на землю одновременно! То есть движение пули параллельно земле можно не учитывать – движения как бы независимы! Забиваем толстый болт на скорость пули (пока) и считаем, что мы ее просто уронили из руки с высоты один метр! Ну это же просто, уж на это мозгов у меня хватало – значение ускорения свободного падения я помнил – 9.8 метра в секунду за секунду.
Высота, которую пролетает свободно падающее вниз тело (если его с силой не бросили, а оно просто упало вертикально вниз) равна ускорению свободного падения (g=9.8, ну это мы знаем), умноженное на квадрат времени, и еще надо это все поделить пополам , формула пишется так: S=g*t^2/2. Отсюда легко получаем время, за которое тело пролетает один метр. Знаем, что падает пуля с высоты метр – значит, S=1, получаем 1=9.8*t*t/2, отсюда t*t=2/9.8, отсюда t= (корень квадратный) из 2 поделенного на 9.8, - получается 0.45 секунды примерно.
Чем же мне помогла эта задачка?
А я подумал: у Перельмана – Земля была плоская для его задачки. Но для ракеты Земля ни фига не плоская! Земля для ракеты очень даже закругляется. Ракета на первой космической скорости летает по кругу вокруг земли на одной и той же высоте. Значит надо что? Надо, чтобы ракета летела вперед с такой скоростью, что когда ракета падает вниз на метр, Земля закруглялась под ней тоже на один метр! И тогда ракета не будет успевать приближаться к земле! Ракета за полсекунды примерно упала на метр – но при этом пролетела так далеко, что Земля закруглилась как раз на метр! И ракета все время будет как бы начинать падать с высоты метр!
В принципе, по фигу, что пуля, что ракета – скорость падения (если сопротивления воздуха не учитывать) не зависит от массы. Это еще в средние века знали – Галилей обосновал, кидаясь всякой хренью с пизанской башни, кажется.
Ну, тогда представим, что у нас колодец (жерло вулкана, например) аж до центра Земли. Мы запускаем одну ракету лететь за горизонт, а вторую, такую же, роняем в колодец. Поскольку по вертикали (как с пулей) они падают одинаково быстро, то когда одна ракета долетит до центра Земли – вторая будет на том же уровне. Легко понять, что это экватор! Ну, если представить землю, как арбуз на столе, хвостиком кверху – это северный полюс. Мы его режем пополам параллельно столу – нож пройдет по экватору и через центр – они относительно северного полюса находятся по вертикали на одном расстоянии. Значит, надо сделать следующее: 1) узнать, за какое время ракета упадет до центра земли 2) за это время другая ракета должна пролететь от северного полюса до экватора – значит, надо вычислить длину дуги в четверть земного шара и 3) поделить расстояние (длину дуги) на время – получим скорость!
Когда я показал решение задачи нашему уважаемому физику, одноногому ветерану на костыле, умному и строгому Ермолаеву, он реально прибурел. Ответ-то правильный, но, видимо, таким неординарным способом еще никто из студентов первую космическую не выводил. Особенно ему про ракету, которую я в колодец кидал, понравилось, он хмыкнул и сказал сурово, что лучше, конечно, ходить на лекции, но за оригинальность решения и с учетом мычания и блеянья по первым двум вопросам ставит мне четверку. Вот щастья-то было!
А где же здесь векторы? - спросит пытливый читатель! Вот! То-то и оно-то! То, оказывается, была присказка!
Суть всего, что я рассказал вот в чем: если у нас силы, скорости, движения, действуют перпендикулярно друг другу, то можно наплевать на одно и спокойно заниматься вторым – и наоборот. Они друг на друга не влияют! И это ужасно удобно. Ну вот, например, задачка: я – Чапаев. Мне надо переплыть реку Урал. Ширина реки, скажем, пять километров. А вода в ней течет со скоростью, скажем, километр в час. Если я поплыву на другой берег, насколько меня отнесет в сторону?
Если пытаться нарисовать путь, по которому меня будет нести река, да еще я буду грести – не так-то просто. А мы плевали на течение (сначала) и разбираемся только с «плыть поперек». Ширина – пять км, скорость моя – пять км в час – проплыву за час.
Теперь «забываем» про поперек – и смотрим, как меня несет вдоль. Время мы уже вычислили – я плыву час, значит, и течение меня несет час. За час со скоростью один километр в час (тут и дятел посчитает), меня отнесет на километр. Итого, я в итоге проплыву вперед – пять километров, вбок – километр! Откладываем на карте пять км вперед и еще один км вбок – получаем точку, где я приплыву на тот берег.
Интуитивно эту идею еще пираты понимали. Они не писали на тайных картах, где клад спрятан, «…пройдите под углом тридцать градусов от большого дуба сто двадцать один шаг…». Они писали: «от большого дуба на север сто пятьдесят шагов. И потом на запад пятьдесят шагов», - то есть, раскладывали движение на две перпенидкулярные «стрелочки», которые при сложении и давали нужное расстояние.
В этом вся идея векторов. Перпендикулярные друг другу векторы, будь то сила, скорость, ускорение – что бы мы ни обозначали и не подсчитывали, - не влияют друг на друга. Поэтому мы можем любое направление разложить на два удобных нам перпендикулярных направления – и работать с ними по отдельности. А потом сложить. Для того их и придумали.