Всем привет, сегодня я покажу как выводятся 4-основные формулы для нахождения площади треугольника, для понимания следующего материала нужно знать теорему синусов, площадь прямоугольника.
*UDP доказательство формулы Герона в этой статье*
Для начала поймем один частный случай(если это понимаете, пролистывайте дальше).
Площадь прямоугольного треугольника.
У нас есть прямоугольный треугольник с катетами a,b, нужно найти его площадь.
Достраиваем до прямоугольника.
Площадь такого прямоугольника будет a * b, а значит площадь прямоугольного треугольника будет 1/2 * a * b(т.е. половинка от площади прямоугольника).
Этот факт нам понадобится для доказательства первой формулы.
Площадь треугольника через основание и высоту.
Мы опустили высоту на основание a, замечаем что исходный треугольник разбился на два прямоугольный треугольника, значит посчитаем их площадь, но для начала назовём отрезки x, y , на которые высота делит основание a.
Найдем площадь 1,2 треугольника и сложим их(т.к он и состоит из этих площадей).
А теперь вот здесь выносим общий множитель за скобку.
x + y - это и есть a, => получаем формулу половина основания на высоту.
Площадь через синус угла между сторонами.
Опустим высоту на основание b и назовём её x. Посмотрим на этот прямоугольный треугольник
Нам нужно найти x, как это можно сделать если нам известен только угол альфа и гипотенуза a? Очевидно, расписать синус этого угла и выразить от туда x.
Ну и теперь используем ранее доказанную формулу "половина основания на высоту".
Произведение всех сторон на 4 радиуса описанной окружности.
Чтобы доказать эту формулу, нужно знать теорему синусов. и помнить ранее доказанную формулу.
Выразим синус угла альфа из теоремы синусов.
Подставляем синус альфа в ранее доказанную формулу.
Вот и вся формула. Изи, не правда ли? Теперь чуть посложнее.
Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности.
У нас есть треугольник ABC со сторонами a,b,c , в него вписана окружность радиуса r с центром O, которая касается сторон в точках K, L, M.
Проведём радиус в точки касания и соединим вершины треугольника с центром окр.
Теперь считаем площадь вот этих трех выделенных треугольников
Площадь AOC = 1/2 r * a, AOB = 1/2 r * b, COB = 1/2 r * c.
значит площадь ABC = AOC + AOB + COB
1/2 * r выносим за скобки.
(a + b + c )/ 2 это полупериметр p.
Вот и наша формула.
Если хотите узнать доказательство формулы Герона, заходите на эту статью.
Спасибо за внимание.