Задача 30 (3). Уравнение состояния идеального газа

Полное условие задачи

Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу 1 кг. Шар наполняют гелием при нормальном атмосферном давлении. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнет поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0 °С.

Краткое условие задачи

Решение задачи

Схематичный рисунок к задаче

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

Перепишем его в проекциях на вертикальную ось OY:

или

Распишем силы, входящие в выражение (1). Сила Архимеда равна:

Объем шара равен:

Тогда:

Сила тяжести, действующая на гелий равна:

Подставляем формулу для объема шара и получим:

Сила тяжести, действующая на оболочку равна:

Площадь сферы находим по следующей формуле:

Тогда:

С учетом выражений (2), (3) и (4) перепишем выражение (1):

Выразим из последнего выражения радиус шара. Для этого разделим обе стороны уравнения на величину:

и получим:

Плотности гелия и воздуха получим из уравнения состояния идеального газа:

Так как

то

или

откуда находим плотность:

Плотность гелия:

Плотность воздуха:

Таким образом, радиус шара равен:

Находим теперь массу оболочки шара:

Подставляем данные и находим численный результат:

Ответ: 93 кг.