В данной работе рассматриваются способы и методы решения логических задач. К логическим задачам относятся такие задачи, при решении которых главное определяющее - это отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели. Логические задачи способствуют развитию творческого и нестандартного мышления, тренировки ума. При решении логических задач используем принцип Дирихле, который является эффективным методом решения. Применение принципа Дирихле является весьма эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное решение. Несмотря на кажущуюся тривиальность принцип Дирихле весьма глубок, так как является тем, что математики именуют «чистой теоремой существования». Принцип Дирихле характеризует специфику логических задач, а также некоторые из них используют идеи этого принципа в решении всей задачи или какой-то ее части. Исследование логических задач позволяет сделать вывод о том, что применение этого принципа воспитывает умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств. В ходе исследования рассмотрены интересные логические задачи:
- арифметические;
- алгебраические;
- геометрические;
- комбинаторные.
Цель работы.
Основной целью является исследование эффективности применения принципа Дирихле в решении логических и олимпиадных задач. Принцип Дирихле имеет несколько формулировок. Самый доступный ученикам средней школы является следующий: «Если в 𝑚 клетках сидит 𝑀 голубей, причем 𝑀 > 𝑚, то хотя бы в одной клетке сидят по крайней мере два голубя.» Исходя из этого определения приведем понятие обобщенного принципа Дирихле: «Если в 𝑛 клеток посадить 𝑘𝑛 +1 голубя, то найдется хотя бы одна клетка, в которой не менее чем 𝑘 + 1 голубей». Приведем следующие виды задач, к которым применим принцип Дирихле:
- задачи, которые в буквальном смысле не являются математическими с точки зрения школьного курса математики;
- в то же время требуют для своего решения формулирование суждений (высказываний), построения умозаключений и их цепочек;
- ответом является установление факта или его опровержение.
Пример 1. Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17 ∙ 17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1,2,3, … ,70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют четыре различные клетки с центрами в точках 𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷 такие, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в 𝐴 и 𝐶, равна сумме чисел в клетках с центрами 𝐵 и 𝐷. Решение. Рассмотрим всевозможные пары клеток, симметричных относительно центра квадрата. Количество таких пар равно 172 − 1 2 = 144. Сумма чисел, написанных в двух клетках может быть равно 2,3, … ,140. Поэтому найдутся две пары клеток, симметричных относительно центра квадрата, с равными суммами написанных чисел. В качестве точек 𝐴 и 𝐶 возьмем центры одной пары клеток, а в качестве 𝐵 и 𝐷- центры другой пары.
Пример 2. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 400000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся по крайней мере три елки с одинаковым числом иголок. Решение. Будем рассаживать наших «голубейелок» по «клеткам» с номерами от 0 до 400000. В каждую «клетку» будем сажать те елки, у которых число равно номеру клетки. Задача будет решена, если мы докажем, что найдется «клетка» в которой «сидит» не менее трех елок. Всего клеток 400 001 штука. Если бы в каждой из них сидело не более двух «голубей-елок», то всего елок было бы не более чем: 2 ∙ 400 001 = 800 002 штук. А это не так. Следовательно, найдется хотя бы одна «клетка», в которой не менее трех «голубей».
Замечание. Мы доказали, что таких елок не менее трех, но мы не знаем точно, сколько их. Может быть 5, может быть 100, а может быть и весь миллион. Более того, мы не знаем, сколько конкретно иголок на них. Может быть 5, а может ни одной.
Пример 3. В семье 7 человек и их суммарный возраст 332. Доказать, что из них можно выбрать 3 человека, сумма возрастов которых не меньше 142 лет. Решение. Выберем трех старших членов семьи, если им вместе 142 года, то хотя бы одному из них больше 47 лет. Если самому младшему из троих больше 47 лет, то им троим больше 142 лет. Пусть самому младшему из троих 47 лет или меньше, им троим вместе менее 142 лет. Тогда на долю остальных четверых приходится более 332 − 142 = 190 лет. Разделим 190 на 4 с остатком: 190 = 4 ∙ 47 + 2. По принципу Дирихле одному из четверых больше 47 лет. Это противоречит выбору троих самых старших в семье.
Пример 4. В шифоньере лежат вперемешку 5 пар светлых кроссовок и 5 пар темных кроссовок одинакового размера и фасона. Какое наименьшее количество кроссовок надо взять наугад из шифоньера, чтобы среди них была бы хоть одна пара (на правую и левую ноги) одинакового цвета? Решение. Возьмем 10 пар кроссовок. Может оказаться, что среди них 5 светлых на одну ногу и 5 темных на одну ногу. В этом случае, если взять 11- ую кроссовку, она с одним из ранее взятых дает пару светлых или темных кроссовок. Изучив классические задачи, которые решаются с помощью принципа Дирихле, составим несколько подобных задач.
- Задача 1. Для танцевального ансамбля университета было сшито 20 новых костюмов. 15 из них были мужскими, 14 черного цвета, у 12 костюмов шапочки были золотистого цвета. Докажите, что среди всех костюмов найдется мужской костюм черного цвета с золотистой шапочкой. Решение. Возьмем 15 карточек и на каждой из них запишем мужской костюм. Еще на 16 карточках напишем – черный цвет и на 12- золотистая шапочка. Всего у нас окажется 15+14+12=41 карточек. Пронумеруем костюмы от 1 до 20 и будем раскладывать карточки. Так как 41 = 2 ∙ 20 + 1, значит по крайней мере на одном костюме будет три карточки. Следовательно, среди всех костюмов найдется мужской костюм черного цвета с золотистой шапочкой.
- Задача 2. Для поездки в лагерь заказали автобус с 22 местами, сблокированными по два. В лагерь едет 12 учеников 9 «А» класса и 10 учеников 9 «Б» класса. Могут ли в одном блоке оказаться ученики одного класса? Решение. Определим сколько блоков сидений в автобусе 22:2=11. Возьмем 12 карточек с надписью 9 «А» и 10 карточек с надписью «Б» и разложим по местам автобуса. Так как блоков 11, то в одном из них обязательно окажется две карточки одного класса.
Выводы.
1. В результате исследования удалось классифицировать и выявить в школьном курсе математики логические задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле.
2. Выявлена применимость принципа Дирихле в решении некоторых типов логических задач.
Заключение. В заключении удалось установить требования к виду задач, позволяющих систематизировать задачи в разрезе разделов математической подготовки учащихся.