Первый опыт популярной публикации, касающейся математики университетского уровня, и, тем не менее, без формул. Возможно продолжение, если будет интерес читателей, и охота у самого автора. Который (повторяю) не является математиком.
Начать с определения множества?
Но такого определения нет! Множество – исходное понятие, неопределимое через другие. Наоборот, многие понятия (числа, например), вводятся посредством множеств.
Можно дать пояснения. Основная идея – принадлежность. Говорят, что элемент х принадлежит множеству Х (или не принадлежит).
В частности, множество может быть и пустым - Ø! Как ни странно, пустое множество имеет своеобразный приоритет перед другими: его не требуется конструировать из каких-то элементов, оно первично.
В множество входят элементы, объединенные неким общим свойством. Так что конкретное множество содержит однородные (в каком-то смысле) объекты.
Про любой элемент можно сказать, принадлежит ли он множеству?
И да, и нет.
Займемся множеством иррациональных чисел. Предъявлено действительное число; можно ли установить его принадлежность множеству?
Честно сказать, даже неясно, как его можно «предъявить». Конечно, число 2 рационально, а 2π иррационально. Но существует сколько угодно чисел, которые не могут быть записаны коротко и компактно, в десятичной записи они "не имеют конца"! Кстати, подобная проблема (элемент затруднительно указать) может быть и у конечных множеств.
Хотя принципиально любое число – либо иррационально, либо нет.
Элементы множества... Ими могут быть числа, векторы, функции, фигуры на плоскости – что угодно. Очень часто имеют дело с множествами множеств... Звучит пугающе, но тут нет ничего такого, что не помещалось бы в обычной голове.
Подмножества и операции
Понятие подмножества достаточно ясно интуитивно. Подмножество какого-то множества объединяет часть его элементов.
Если будем рассматривать различные подмножества множества X (нередкий случай), получим семейство, множество множеств. Не упускайте из вида, что подмножества, входящие в Х, рассматриваются как элементы семейства F: особого множества, а не Х!
Операции с множествами - тема знакомая. Кажется, сейчас чуть ли не в школе ее дают. Это:
- объединение (или сумма) множеств;
- пересечение множеств;
- разность множеств (содержит элементы Х, кроме тех, что содержатся и в Y);
- симметрическая разность (из объединения множеств исключаются те элементы, которые принадлежат и Х, и Y).
Конечные и бесконечные множества
Множества делятся на конечные (с конечным числом элементов) и бесконечные. Первые как-то понятнее, однако сами по себе не представляют большого интереса. Имея дело с множествами, по умолчанию подразумеваются бесконечные.
Конечные множества могут быть в принципе заданы попросту перечислением их элементов. Для бесконечных такое невозможно, посему они и задаются только через общее свойство элементов. Естественно, что сходным образом можно задать и конечные множества. Иногда другого пути даже нет. Пример: множество (заведомо конечное) корней некоторого уравнения, способом решения которого мы не располагаем.
В математике бесконечные множества рассматриваются как «актуальные», состоявшиеся. А значит, они никоим образом не являются расширением, продолжением конечных. Взять конечное множество, а затем сказать: «и так далее, до бесконечности» – значит, не сказать ничего.
Справедливости ради стоит отметить, что родоначальником такого подхода является Георг Кантор. Да и приняты его идеи были далеко не сразу.