Бильярд — прекрасная иллюстрация законов физики. Шары сталкиваются друг с другом и ударяются о борта, как молекулы газа в некоем двумерном резервуаре. Но физика бильярда сложнее: здесь важно и вращение. Опытный игрок, придавая шару вращение, может достигать таких эффектов, как накат, оттяжка и массе (дуговик). Анализ соударения кия с бильярдным шаром — это, быть может, одно из самых интересных приложений классической механики.
Чтобы полностью освоиться с силами и траекториями в бильярде, нужно часто играть и при этом анализировать сыгранные партии. Очень полезно также предварительно усвоить физику, лежащую в основе игры. Недавно Т. Кинг из Темпл-Сити (шт. Калифорния) прислал в редакцию свой разбор некоторых классических ударов в бильярде. До последнего времени по существу единственным пособием по динамике бильярда было приложение к лекциям по механике А. Зоммерфельда, который более известен своими работами в области квантовой механики.
В прошлом году Д. Гриффинг из Майамского университета посвятил бильярду главу в своей книге «Динамика спорта: почему мяч и шар отскакивают именно так». Таковы три источника, на которых ниже будет основано изложение физики бильярда. Рассмотрев ряд простых случаев, я затем объясню несколько знаменитых бильярдных трюков, описанных в книге Р. Берна «Бернова сокровищница бильярдных трюков».
Когда кий ударяет по шару-битку, он приводит его в горизонтальное и вращательное движение. Предположим, что кий при ударе горизонтален. В какую бы точку на поверхности шара ни ударил кий, он заставит его двигаться по горизонтали так, как если бы сила была приложена в центре тяжести. Предположим теперь, что удар кием производится в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара, т. е. точка соприкосновения с кием лежит на линии пересечения этой вертикальной плоскости с поверхностью шара, обращенной к играющему.
Начальная скорость шара и его начальное количество движения (произведение массы на скорость) еще не определяется положением точки удара на этой линии. Важнее два других фактора. Один из них — длительность удара; игрок практически не может ее контролировать. Второй фактор, легко контролируемый играющим, — сила удара. При сильном ударе скорость шара и количество движения больше, чем при слабом. При ударе по шару кием также создается крутящий момент, который заставляет шар вращаться вокруг центра тяжести. Момент равен произведению силы на плечо, т. е. на расстояние по вертикали от точки, в которой делается удар, до горизонтальной средней плоскости шара.
Он тем больше, чем дальше эта точка от средней плоскости. Моментом силы определяется начальная скорость вращения шара вокруг центра тяжести. Она пропорциональна моменту силы, деленному на момент инерции (который учитывает не только величину массы тела, но и то, как эта масса распределена вокруг оси вращения). Момент инерции шара, вращающегося вокруг своего центра тяжести, равен двум пятым его массы, умноженным на квадрат его радиуса. Выбирая место удара по шару в некоторых игровых вариантах, игрок должен помнить о множителе 2/5, соответствующем геометрической форме шара. Если игроку нужно, чтобы шар первоначально не вращался, он должен ударить его на высоте центра тяжести.
Тогда плечо силы равно нулю, а потому равны нулю момент силы и скорость вращения. При ударе выше центра тяжести плечо силы отлично от нуля, и поэтому к шару прикладывается отличный от нуля крутящий момент. Благодаря силе удара шар движется вперед, а благодаря крутящему моменту вращается вокруг своего центра тяжести. Говорят, что шар идет с верхним (или прямым) вращением; верхняя часть вращающегося шара удаляется от игрока быстрее, чем в том случае, когда вращение отсутствует.
При ударе кием ниже центра тяжести шар приобретает «обратное» вращение. Итак, ударяя кием по шару, играющий задает три характеристики движения. Силой удара определяется скорость перемещения шара по столу, плечом силы — направление вращения, а произведением силы на плечо — скорость вращения. Если бы не трение о поверхность стола, шар-биток продолжал бы двигаться, пока не ударился бы о борт или не натолкнулся на другой шар. Но даже если сукно бильярдного стола сильно изношено и поэтому очень гладкое, сила трения при скольжении шара по сукну достаточно велика.
Из-за трения может заметно измениться и горизонтальное, и вращательное движение шара, а следовательно, может измениться и характер удара. Если же шар катится по столу без проскальзывания, то трение невелико и оказывает влияние лишь на максимальный пробег шара. Сила трения, возникающая при скольжении шара, зависит от его массы, а также от фактуры сукна и от шероховатости поверхности шара, но не зависит от скорости скольжения. Направление этой силы определяется направлением скольжения.