Сочетание "had better" используется в тех случаях, когда мы хотим дать совет человеку о том, что желательно или следовало бы сделать (или не сделать). Причем указание с данным выражением делают обычно в тех случаях, если последствие ситуации (о которой мы предупреждаем) может иметь отрицательные последствия для того, кого мы предупреждаем. И в этом есть главное отличие от применения "should". Should используется в какой-то общей рекомендации.
Примеры:
You should brush your teeth every day. (общая рекомендация)
It's sunny today. You had better use sunscreen lotion when you go out. (конкретная рекомендация)
Вот почему в примере к выражению "Смотри под ноги" используется именно "had better", а не "should".
Контекст в английском языке очень важен :)
Мой Telegram-канал для изучения новых слов по слову в день с произношением и примером использования: https://t.me/english_one_word