Александр Свитов родился в 1982 году в Омске, городе больших хоккейных традиций. Как отмечает, сам хоккеист, в хоккей его привел телевизор. Мальчик любил смотреть спортивные трансляции и когда подрос, стал заниматься хоккеем.
Александр взрослел и стал выступать за юношескую и молодежную команды родного клуба. В 1998 году Свитов был включен в заявку команды, за которую он мечтал играть всю жизнь. В тот год Авангард обошелся без услуг молодого нападающего. Александр не обиделся, а стал еще больше работать на тренировках.
На следующий год, Свитов все чаще появляется в составе омичей и даже имеет на счету 6 (3+3) очка. В сезоне 2001-2002 годах он игрок основы и набирает пятнадцать результативных баллов.
В этом же году Свитов становится чемпионом мира среди молодежных команд. В 2001 году Александра на драфте выбирает клуб Тампа-Бей.
Затем следует неприятная история. Александра обвинили, что он вел скрытые переговоры с заокеанским клубом и он провел всего три игры за Авангард.
За океаном он играет сезоны 2002 -2004, 2006-2007 выступая за четыре разных команды. В них, Свитова, часто используют в качестве тафгая. В НХЛ за Тампу и Коламбус Александр сыграл 186 игр, забросил 13 шайб, сделал 24 передачи и набрал 239 минут штрафа.
За свой родной Авангард Свитов играл в сезонах 1999 – 2002, 2006, 2008 – 2010 провел 270 игр, забросил 48 шайб, сделал 57 передач, набрал 740 минут штрафа.
В 2010 году хоккеист подписывает контракт с башкирским клубом Салават Юлаев. В нем он проводит три года и становится победителем Кубка Гагарина, забивает 35 шайб и набирает 174 минут штрафа.
В 2012 году в составе сборной России становится Чемпионом мира.
С 2013 по 2019 годы играет за казанский Ак Барс, с которым в 2018 году выигрывает второй Кубок Гагарина. Сейчас он игрок ярославского Локомотива.
В КХЛ за три разных клуба Свитов провел 325 игр, набрал 137 (68+69) очков, набрал 500 минут штрафа.
Александр, играя за все команды, был всегда готов дать отпор и наказать противника, использующего грязные приемы, против игроков его команды. Очень часто игроки выбирали его своим капитаном и Свитов всегда оправдывал их надежды.
Свитов заслуженный мастер спорта.