Дорогие друзья! Предлагаю Вашему вниманию очередную работу по теории чисел Виктора Сухова. Как всегда интересно и познавательно.
Неконструктивные действительные, которые никак нельзя записать, но всё же можно представить.
Казалось бы, что с точки зрения количественного сравнения все бесконечные множества «одинаково» бесконечны, т.е. их нельзя исчерпать, «извлекая» из них за конечное количество шагов (извлечений) сколь угодно большими, но конечными партиями, по конечному количеству (штук) элементов. Мерой «количества» элементов в множестве является его МОЩНОСТЬ. Мощность конечного множества совпадает с количеством содержащихся в нём элементов (обозначается |M| – мощность множества M). Для бесконечных множеств есть более хитрый метод их сравнения, когда в качестве «минимального» бесконечного множества выбирают натуральный ряд чисел и пытаются найти такую однозначную функцию, которая каждому элементу некоторого множества сопоставляет одно и только одно натуральное число. Два множества будут равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Множество всех подмножеств {{Ø},{a},{b}.…,{c},{a, b}.…,{a, c}.…,{a, b,…,c}}
конечного n-элементного множества {a, b, … , c}, где Ø — пустое множество, имеет мощность 2ⁿ (множество всех сочетаний без повторений из нуля, одного, двух, …, n элементов).
В теории множеств доказывается, что множество всех подмножеств любого множества W больше мощности этого множества (обозначение 2ˡʷˡ > |W|). Мощности бесконечных множеств выражаются так называемыми КАРДИНАЛЬНЫМИ ТРАНСФИНИТНЫМИ ЧИСЛАМИ.
Мощность множества всех натуральных чисел называется мощностью счётного множества и обозначается кардинальным числом ℵ₀ («алеф-нуль»). Доказано, что множество всех рациональных чисел имеет счётную мощность, т.е. их столько же, что и натуральных чисел.
Множество всех подмножеств счётного множества называется КОНТИНУУМОМ, его мощность обозначатся ς = 2^ℵ₀ > ℵ₀.
Множество все подмножеств континуума называется СВЕРХКОНТИНУУМОМ и т. д. – последовательность бесконечных мощностей не ограничена и существуют так называемые НЕДОСТИЖИМЫЕ МОЩНОСТИ. Более того (как это не странно), доказано, что не существует множества всех множеств. (из некоторых соображений о непротиворечивости это будет КЛАСС ВСЕХ МНОЖЕСТВ).
Известно, что множество действительных чисел представляется как объединение рациональных и иррациональных чисел. Иррациональные числа в свою очередь является объединением алгебраических иррациональностей и трансцендентных чисел.
Кантор своим диагональным методом доказал, что множество всех действительных чисел гораздо «больше», чем множество натуральных (а, значит, и всех рациональных и алгебраических чисел), и образует континуум (множество, имеющее мощность континуума).
КОНСТРУКТИВНАЯ МАТЕМАТИКА, в отличие от традиционной математики, считает некоторый объект существующим только тогда, когда он построен, т. е., если существует алгоритм или по крайней мере счётная последовательность алгоритмов, однозначно определяющая этот объект. Таким образом, в конструктивной математике (чистые) доказательства от противного не считаются доказательствами существования, если неизвестны также и конструктивные доказательства.
Ключевым понятием конструктивной математики является понятие алгоритма. АЛГОРИТМ это вычислительный процесс, включающий набор из конечного числа элементарных действий (например, сложений, вычитаний, умножений и делений) и завершающийся через КОНЕЧНОЕ число шагов (последовательных вычислений).
КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА – это числа которые можно получить путём выполнения (конечной или бесконечной) последовательности алгоритмов, зависящих от конечного (или, по крайней мере, счётного в пределе) количества натуральных параметров. Из этого следует, что мощность конструктивных действительных чисел счётна и это в некотором роде «наибольшее» счётное подмножество действительных чисел (которое включает не только все алгебраические рациональные и иррациональные числа, но и ещё счетное множество счётных множеств конструктивных трансцендентных чисел, в том числе и трансцендентное число π). Все остальные действительные числа являются НЕКОНСТРУКТИВНЫМИ и их гораздо больше (в смысле мощности), чем конструктивных – целый континуум.
Неконструктивное действительное число (в отличие от конструктивного) невозможно как-то записать, например, представить в виде суммы бесконечного ряда, каждый член которого выражаются алгоритмом, зависящем от конечного (или по крайней мере счётного в пределе) количества натуральных (или, что равнозначно, – рациональных) параметров. Из этого следует, что представить каким-то определённым (конечным символическим) образом неконструктивные действительные числа невозможно и они не являются предметом конструктивной математики.
Ввиду того, что человеческое сознание ограниченно во всех отношениях, никакое воображение не способно представить какое-либо конкретное неконструктивное действительное число.
Однако общее представление об этих числах всё же дать можно, если привлечь понятие случайного действительного числа (которое, конечно, не то же самое, что и детерминированное действительное число). СЛУЧАЙНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО можно представить как десятичную (или любую систематическую дробь – двоичную, троичную и т.п.) бесконечную дробь, значения всех (или по крайней мере какого-то бесконечного подмножества) цифровых разрядов которого являются случайными выборками из множества 10 цифр, производимыми по некоторым (определённым или неопределённым) случайным законам. Если в бесконечное число десятичных (двоичных и т.п.) разрядов подставить цифры, полученные в результате множества случайных выборок (которые не является алгоритмами), то получится некоторое действительное число, которое будет моделью неконструктивного действительного числа. Вероятность получения в бесконечной случайной выборке рационального числа, очевидно, стремится к нулю и, значит, полученное число будет иррациональным, а, т.к. составляющие его цифры не предсказуемы, оно будет неконструктивным.
Неконструктивные действительные числа имеют чисто теоретическое значение. Практическое использование их невозможно. В философском же смысле представление о неконструктивных числах показывает, насколько широко может распространяться человеческая фантазия.
Виктор Сухов.
Всего Вам доброго.