Таблицу Пифагора все много раз видели, разве можно в ней найти что-то новенькое?
А вот Корней с Пантелеем решили по ней прогуляться.
Корней гуляет по гномонам и считает сумму чисел, которые попадаются по дороге.
Первый красный гномон – самый маленький, от него остался один квадратик, в котором стоит единица. Здесь проще всего посчитать сумму, получится 1. Следующий гномон – оранжевый, сумма чисел в нем равна 8; в желтом – 27, в зеленом – 64. Корней шагает по следующему гномону. Слагаемых все больше и больше, считать все труднее. Сколько получится у Корнея?
Он решил складывать числа не подряд, а парами:
И только для 5×5 пары не было, так что вся сумма вышла такой:
(5×1+5×4)+(5×2+5×3)+(5×3+5×2)+(5×4+5×1)+5×5
или
(5×5)+(5×5)+(5×5)+(5×5)+(5×5).
Здесь ровно пять слагаемых, поэтому в сумме у Корнея получилось 5×5×5.
Он быстро сообразил, что прохаживаясь по гномонам, легко можно сосчитать сумму всех чисел в полном квадрате.
Например, в квадрате 5 на 5 сумма всех чисел равна 1³+2³+3³+4³+5³
Тем временем Пантелей шагал по строкам того же квадрата и тоже складывал числа по пути:
В самой верхней строке сумма равна 1+2+3+4+5; в следующей строке все числа вдвое больше, поэтому и сумма там вдвое больше: (1+2+3+4+5)×2; в третьей строке числа больше уже втрое:
(1+2+3+4+5)×3. И так далее. Теперь Пантелей сложил суммы во всех строках:
(1+2+3+4+5)×1
(1+2+3+4+5)×2
(1+2+3+4+5)×3
(1+2+3+4+5)×4
(1+2+3+4+5)×5
Складывая, можно вынести общий множитель (1+2+3+4+5), и тогда получится вот что:
(1+2+3+4+5)× (1+2+3+4+5) или (1+2+3+4+5)².
Необязательно было гулять по квадрату именно 5 на 5, другой квадрат тоже бы сгодился. Так что вечером, за рюмочкой чая, обсудив своим прогулки, Корней с Пантелеем поняли, что (1+2+3+…+n)²= 1³+2³+3³+…+n³
А вы гуляли когда-нибудь по таблице Пифагора? Заметили что-нибудь интересное?
Понравилось? Тогда подписывайтесь на канал "Математика с Надеждой", мы от него в восторге!