Как выиграть в соревнованиях, когда играешь хуже всех

Ещё одна обал­ден­ная зада­ча на стра­те­гию и игро­вую тео­рию.

Андрей, Вова и Сер­гей участ­ву­ют в сорев­но­ва­ни­ях на мячах, их цель — кинуть мяч так, что­бы попасть в любо­го сопер­ни­ка. В кого попа­ли — выбы­ва­ет. Все кида­ют стро­го по оче­ре­ди.

Все зна­ют, что веро­ят­ность того, что Андрей попа­дёт в цель с пер­во­го раза, рав­на 0,3. Веро­ят­ность того, что попа­дет Сер­гей — 0,5, а Вова вооб­ще нико­гда не про­ма­хи­ва­ет­ся, у него веро­ят­ность 1,0.

Участ­ни­ки по оче­ре­ди кида­ют мяч друг в дру­га, само­сто­я­тель­но выби­рая цель, до тех поp, пока не оста­нет­ся толь­ко один чело­век.

Как Андрею уве­ли­чить свои шан­сы на побе­ду, если он кида­ет мяч пер­вым, но дела­ет это хуже всех?

Сна­ча­ла попы­тай­тесь решить зада­чу само­сто­я­тель­но, и если зай­дё­те в тупик — смотрите реше­ние.

Решение

Опти­маль­ное реше­ние — спе­ци­аль­но кинуть мяч в сто­ро­ну от всех, что­бы целе­на­прав­лен­но про­мах­нуть­ся. Сле­ди­те за циф­ра­ми.

Если Андрей кида­ет мяч в Вову, то попа­да­ет с веро­ят­но­стью 0,3 и выиг­ра­ет, но после это­го Сер­гей кинет в Андрея с веро­ят­но­стью 0,5. Что­бы Андрей побе­дил, Сер­гей дол­жен про­мах­нуть­ся, а Андрей в ответ — попасть. Веро­ят­ность тако­го исхо­да = 0,3 × 0,5 = 0,15. А общая веро­ят­ность побе­дить у Андрея с такой стра­те­ги­ей рав­на:

0,3 × 0,15 = 0,045

Если Андрей кида­ет пер­вый мяч в Сер­гея и попа­да­ет с той же веро­ят­но­стью 0,3, то сле­ду­ю­щим брос­ком Вова попа­да­ет в Андрея, пото­му что нико­гда не про­ма­хи­ва­ет­ся. В этой вет­ке собы­тий Андрей про­иг­рал вооб­ще без шан­сов выиг­рать. Если же Андрей про­ма­хи­ва­ет­ся, то Вова будет кидать в Сер­гея (что­бы выбить наи­бо­лее силь­но­го сопер­ни­ка), и, как все­гда, попа­дёт. Тогда Андрей сле­ду­ю­щим брос­ком выби­ва­ет Вову с веро­ят­но­стью 0,3. Счи­та­ем общую веро­ят­ность выиг­ры­ша:

Андрей кида­ет в Сер­гея и попа­да­ет: шан­сов на выиг­рыш — 0

или

Андрей кида­ет в Сер­гея и про­ма­хи­ва­ет­ся — веро­ят­ность 0,7

Вова кида­ет в Сер­гея и попа­да­ет — веро­ят­ность 1

Андрей кида­ет в Вову и попа­да­ет — веро­ят­ность 0,3

Веро­ят­ность выиг­рать в таком слу­чае — 0,7 × 1 × 0,3 = 0,21

Общая веро­ят­ность побе­дить по ито­гам двух вари­ан­тов раз­ви­тия: 0 + 0,21 = 0,21

А вот если Андрей спе­ци­аль­но про­ма­хи­ва­ет­ся, то собы­тия раз­ви­ва­ют­ся так (исхо­дя из здра­во­го смыс­ла у осталь­ных сопер­ни­ков):

Вове невы­год­но кидать мяч в Андрея, пото­му что когда он вый­дет из игры, Сер­гей выбьет Вову с веро­ят­но­стью 0,5. Вове выгод­нее кинуть мяч и точ­но попасть в Сер­гея, пото­му что у Андрея веро­ят­ность на побе­ду все­го 0,3.

Полу­ча­ет­ся, что Вова кида­ет мяч в Сер­гея, выби­ва­ет его, а затем Андрей кида­ет в Вову и выиг­ры­ва­ет с веро­ят­но­стью 0,3. Запи­шем это:

Андрей спе­ци­аль­но про­ма­хи­ва­ет­ся — веро­ят­ность 1

Вова попа­да­ет в Сер­гея — веро­ят­ность 1

Андрей попа­да­ет в Вову — веро­ят­ность 0,3

Общая веро­ят­ность собы­тия: 1 × 1 × 0,3 = 0,3

Полу­ча­ет­ся, что мак­си­маль­ные шан­сы на побе­ду у Андрея толь­ко тогда, когда он спе­ци­аль­но про­мах­нёт­ся. Зву­чит стран­но, но циф­ры есть циф­ры.

Подписывайтесь на наш канал, чтобы всегда выигрывать!