В фильмографии Максима пятнадцать фильмов. Большинство своих ролей он сыграл в детском и школьном возрасте. После школы хотел стать оператором, как его отец, но судьба распорядилась иначе.
Максим родился 8 февраля 1968 года в семье известного оператора киностудии имени Горького Николая Пучкова. С детских лет отец брал сына с собой на съемочные площадки, где пятилетнего рыжеволосого мальчика заметил режиссер Михаил Бугин, который взял его в свою картину "Ищу человека". В этом фильме снимались такие известные актеры как Н. Гундарева, Л.Ахеджакова, О.Жаков, Г.Ялович. Так Максим Пучков дебютировал в кино.
Через семь лет с Натальей Гундаревой Максим еще встретится на съемочной площадке. Он сыграет сына ее героини в фильме режиссера Ю.Егорова "Однажды двадцать лет спустя". Того самого сердобольного мальчугана, который выручал своих друзей и брал на себя вину за их проделки.
После фильма "Ищу человека" режиссеры чаще стали приглашать рыжеволосого мальчика в свои картины. Он сыграл в таких фильмах как "Огненное детство", "Шла собака по роялю", "Фрак для шалопая". И даже снялся в детской передаче Будильник с самим С.Мартинсоном.
Кроме кино Максим стал сниматься в детском киножурнале Ералаш. Многим он запомнился по выпуску журнала "Вовка - добрая душа".
По дороге в школу Вовка поскользнулся и упал. Идущую следом бабушку он предупреждает, что в этом месте скользко. Бабушка хвалит Вовку, ему это понравилось и он начинает предупреждать всех подряд, получая от них одобрение и похвалу в свой адрес.
В двадцать лет Максим Пучков сыграл свою последнюю роль в кино. Решил посвятить себя операторскому искусству как и его отец. Поступил во ВГИК , но работать оператором ему так и не довелось.
23 мая 1998 года Максим Пучков скончался от туберкулеза в одной из московских больниц. Ему было 30 лет.