Зенон Элейский — древнегреческий философ, известный тем, что открыл парадоксы, где аргументы выглядят логично, но заключения либо абсурдны, либо противоречивы. Вот уже более 2 000 лет головоломки Зенона вдохновляют математиков и философов лучше понять природу бесконечности. Одна из самых известных задач Зенона называется парадокс дихотомии, что на древнегреческом означает «парадокс деления на две части». Это звучит примерно так: после долгого дня, проведённого в раздумьях, Зенон решает прогуляться от своего дома до парка. Свежий воздух очищает его разум и помогает сосредоточиться. Чтобы добраться до парка, сначала необходимо преодолеть половину пути. Эта часть путешествия занимает некоторое конечное время. Когда он достигнет середины пути, нужно будет пройти половину оставшегося расстояния. И снова это займёт какое то конечное время. После, ему снова необходимо преодолеть половину от оставшегося расстояния, на что снова понадобится некоторое конечное время. Это будет происходить снова и снова. Как видите, Зенон может идти так бесконечно, деля оставшееся расстояние на всё меньшие и меньшие части, каждая из которых требует определённое время на прохождение. Так как же долго Зенон шёл до парка? Для начала мы должны сложить время, потраченное на каждую часть путешествия. Но проблема в бесконечном количестве этих частей-половинок. Получается, что и время путешествия будет бесконечным? Этот аргумент можно обобщить: «Путешествие из одного места в любое другое место занимает бесконечное время». Другими словами, любое движение невозможно. Это заключение совершенно абсурдно! Но где же находится изъян в этой логике? Чтобы решить этот парадокс, нам следует перевести историю в математическое уравнение. Предположим, что дом Зенона в одной миле от парка, и Зенон идёт со скоростью одна миля в час. Простое арифметическое вычисление показывает, что путешествие продлится 1 час. Но давайте взглянем на это с точки зрения Зенона и разобьём путешествие на части. Первая часть путешествия займёт 1/2 часа, следующая — 1/4 часа, следующая — 1/8 часа, и так далее. Сложив все временны́е отрезки, мы получим пример, выглядящий так. «Итак, — сказал бы Зенон, — поскольку справа в уравнении мы имеет бесконечное число частей и каждая часть конечна, сумма должна равняться бесконечности, не так ли?» В этом и заключается проблема аргументации Зенона. Позже математики поняли, что возможно складывать бесконечное множество частей и при этом получать конечный ответ. Но вы спросите: «Как?» Взглянем на пример. Начнём с квадрата площадью в один квадратный метр. Затем поделим его пополам, потом поделим половину ещё пополам и так далее. Пока мы это делаем, определим площадь получаемых частей. Первый разрез образует две части, каждая площадью, равной половине первой. Следующий разрез делит одну из них ещё пополам и так далее. Не важно, сколько раз мы будем разрезать квадрат, общая площадь квадрата будет равняться сумме всех его частей. Теперь вы можете понять, почему мы выбрали именно этот способ деления квадрата. Мы получили ту же бесконечную серию, что и в истории Зенона. Создавая всё новые и новые голубые участки, или, выражаясь математическим языком, взяв предел при n, стремящейся к бесконечности, до полного заполнения квадрата голубым цветом. Но площадь квадрата — это целая часть, поэтому и сумма бесконечных частей тоже должна быть равна одному. Вернёмся к путешествию Зенона. Теперь мы можем увидеть, как разрешается парадокс. В сумме бесконечные части дают нам конечный ответ, и этот конечный ответ такой же, какой диктует нам наш здравый смысл. Путешествие Зенона заняло 1 час.