Это не полноценная статья, скорее, развернутый комментарий к статье о проблемах с делением.
Сразу скажу – я не педагог. Мне не довелось слушать лекции по педагогике и психологии, по методике преподавания и т. д. Однако, по жизни приходилось довольно много объяснять математику (от элементарной до высшей) как отдельным лицам (разного возраста), так и группам их. Поэтому у меня выработалась своя методика. А поскольку она до сих пор работала, считаю, что в ней есть рациональное зерно.
А методика простая. Сначала я объясняю СМЫСЛ производимых действий, а потом даю технические приемы.
Автор статьи жалуется, что дети в четвертом классе не понимают деление уголком. В другой статье говорилось, что дети не умеют решать задачи. В том числе и потому, что в учебниках задачи составлены ужасным образом. Из чего я сделал вывод, что с методикой преподавания математики в школе что-то не так. И решил изложить своё видение, может, кому-то пригодится.
Начнем с примеров (в смысле – не с задач, об этом позже). Решение примеров должно развивать навыки вычисления. И, как я понял, ученикам сразу дают приемы вычислений – сложение, вычитание и умножение столбиком, деление уголком. Но ведь это только технические приёмы, основанные на свойствах позиционной системы счисления, позволяющие упростить процесс вычисления. К пониманию сути выполняемых действий они имеют весьма опосредованное отношение. Допустим, научили вы кого-то дырки сверлить. Через какое-то время он к вам приходит: “Третье сверло сломал, ничего не получается.” Оказывается, он сверлом по дереву пытался рельс просверлить. Ему показали, как сверло крепить, как станок включить. А то, что разные материалы разную твердость имеют, что для них разные сверла используют – не объяснили. Не объяснили суть процесса.
Как бы я объяснял умножение и деление.
Обучение основывается на некоторой базе, поэтому будем предполагать, что ученик имеет представление о десятичной системе счисления. По крайней мере, может сказать, сколько в данном числе единиц, десятков, сотен и т. д. Ну, и будем считать, что сложение и вычитание он освоил. В том числе, и в столбик.
1. Умножение на однозначное число. Пусть нужно умножить 67 на 8. Понимаем, что это 6 десятков и 7 единиц. Берём количество единиц (7) и умножаем на 8. Справившись с таблицей умножения, узнаем, что получится 56. Берём количество десятков (6), умножаем на 8. Лезем в таблицу умножения и узнаем, что получится 48. Т. к. это количество десятков, то получаем 480. Складываем 480 и 56. Получаем 536. Решив с десяток подобных примеров, понимаем, что таблицу умножения лучше бы выучить наизусть.
2. Умножение на многозначные числа. Пусть нужно умножить 67 на 38. Сначала умножаем 67 на количество единиц (8) как в пункте 1. Получаем 536. Затем умножаем 67 на количество десятков (3) как в пункте 1. Получаем 201. Вспоминаем, что это количество десятков, следовательно результат есть 2010. Складываем 2010 и 536, получаем 2546.
Думаю, примерно так считали лет 300 назад. Потом умный человек придумал схему записи умножения в столбик, позволяющую путём смещения результата каждый раз на одну позицию влево автоматически учитывать в результате количество десятков, сотен, тысяч… Взамен приходится овладевать новыми навыками. Например, запоминать, сколько нужно переносить в следующий разряд - то самое “6 пишем 5 в уме”. Но если есть понимание, технические навыки можно натренировать. Я, помнится, на промокашке записывал…
Теперь о делении. Здесь несколько сложнее. И связано это с двумя моментами.
Первое. На данном этапе обучения мы имеем дело с неотрицательными целыми числами. А это множество – увы! – незамкнуто относительно операции деления. Следовательно, нужно так определить деление, чтобы определение работало для натуральных чисел (т.к. на 0 делить нельзя, и это, между прочим, тоже нужно как-то ненавязчиво объяснить), и было бы математически корректно, иначе в дальнейшем могут возникнуть непонятки типа “а вот раньше нам говорили…”.
Если определять деление, как действие, обратное умножению, у пытливого ученика сразу возникнут вопросы. Почему мы можем перемножить два любые числа, а поделить нет? Если мы делим с остатком, почему обратное действие включает не только умножение, но и сложение?
Я бы определил на данном этапе деление как действие, позволяющее определить, сколько раз одно число (делитель) содержится в другом (в делимом).
Такое определение решает несколько методических задач:
· операция становится выполнимой для любых натуральных чисел;
· естественным образом вводит деление с остатком как наиболее общий случай для натуральных чисел;
· в дальнейшем при изучении рациональных чисел (дробей) упрощается понимание дробей с числителем 1 и понимание связи дроби с делением, что естественным образом объясняет перевод обыкновенной дроби в десятичную;
· ну и так далее.
Второе. При решении примеров на деление результат находится подбором. И это важный психологический момент. Как это – строгая математика, и вдруг – подбор? А вот так. Чтобы разделить 633 на 17 мы должны умножать 17 на 1, 2, 3, 4… Каждый раз вычитать результат из 633 и остановиться, когда остаток станет меньше 17.
И вот тут на сцену выползает то самое деление уголком, основанное на свойствах позиционной системы счисления. Этот технический прием позволяет осуществлять подбор не 37 раз, а последовательно не более 9 за раз. Поясню. Ищем, сколько раз 17 содержится в сотнях числа 633. Оказывается, 0. Пишем 0. Сколько раз 17 содержится в десятках числа 633? Оказывается, 3 раза, и ещё остается 12 десятков. То есть, осталось 123 единицы. Пишем 3, и проверяем, сколько раз 17 содержится в 123. Оказывается, 7 раз, и ещё остается 4 единицы. Итого, получаем 037 и 4 в остатке. Т. к. лидирующие нули, как правило не пишутся (хотя, иногда и пишутся, например, дату мы записываем так: 07.03.2019), получаем 37 (4).
Запись уголком делает процесс более наглядным, но не исключает подбора и вычислений на черновике. Не верите? Попробуйте разделить уголком 832154788546 на 17323, и увидите, сколько вычислений на черновике вам придется провести. С накоплением опыта вычислений количество подборов сократится, но полностью избавиться от этого этапа получится только у людей с феноменальными способностями к устному счету.
Если этот момент вовремя не объяснить, у ученика могут возникнуть сомнения в своих умственных способностях – как это, при сложении, вычитании и умножении я обходился без черновика, а теперь не могу? Наверное, нет у меня способностей к математике.
Теперь о задачах. Чем задача отличается от примера? В задаче мы имеем дело с физическими объектами и явлениями, а они имеют массу свойств, большинство из которых к сути задачи не имеют никакого отношения. Когда мы хотим узнать, сколько всего яблок у Маши и Вити вместе, нам абсолютно всё равно, сладкие эти яблоки или кислые. Значит, нужно научиться абстрагироваться от ненужных нам свойств и условий.
Можно ли складывать яблоки и мячики? Не торопитесь отвечать. Рассмотрим такую задачу. Имеется 13 яблок и 17 мячиков такого же размера. В коробку помещается 6 яблок (или 6 мячиков). Сколько коробок нужно для упаковки всех яблок и мячиков?
Нас не интересует, съедобен или несъедобен данный предмет, нам важна только его способность занимать место в коробке.
Я намеренно подобрал числа в задаче так, чтобы пришлось в одну коробку укладывать как яблоки, так и мячики. Так мы плавно переходим к вопросу: чем учебная задача отличается от реальной?
Реальная задача дается жизнью, в ней может присутствовать куча условий. Нам приходится самим выяснять, какие из них важны для решения, а какими можно пренебречь. Для сложных задач это работа для профессионалов.
Учебную задачу мы составляем для формирования у ученика тех или иных навыков. Так и надо их так составлять! Можно, конечно, и лишних условий добавить, и даже не совсем корректных условий. Но это уже задачи со звёздочкой или даже олимпиадные. Не о них сейчас речь.
Можно так поиграть с исходными данными, что при похожих формулировках задачи будут требовать различных навыков. Пример. В магазин привезли 24 машинки и 30 кукол. На полку помещается 3 машинки или 5 кукол. Сколько полок нужно для размещения всех игрушек?
Решается легко. А если кукол 31? Появляется не полностью занятая полка. А если машинок 22? Сколько кукол поместится на 2 машиноместа? А если машинок 25, а на полку помещается 4 машинки?
Пример, конечно, примитивный. Но он показывает, что задачи с похожими формулировками могут использоваться на разных этапах обучения. Такой подход, на мой взгляд, вырабатывает умение анализировать условия задачи, вырабатывает гибкость мышления и отучает действовать шаблонными методами.
Можно долго ещё рассуждать на эту тему. Например, о размерностях. Что на что можно умножать или делить, и что при этом получается? Но и так получилось длинно. Может быть, эти мои мысли помогут кому-нибудь из родителей школьников. А может, и кого-нибудь из профессионалов подвигнут написать, наконец, хорошие, внятные учебники и задачники. Чем черт не шутит!