Статья подготовлена для студентов курса «Математика для Data Science» в образовательном проекте OTUS.
Б. Мандельброт даёт следующее определение фракталам: «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Существуют различные способы расчёта размерности. Практически все из них включают в себя подсчет объёма или площади фрактальной формы и того, как она изменяется в масштабах в том случае, если этот объём или форма увеличиваются.
Методы расчёта фрактальной размерности сводятся или к подсчету степени изрезанности ряда с помощью окружностей определённого радиуса (метод Ричардсона), или к определению числа ячеек в пространстве, занимаемом фрактальной кривой (емкостная размерность), или посредством так называемой корреляционной суммы (корреляционная размерность), или к расчёту показателя Херста H.
В настоящее время фрактальный анализ, как один из инструментов, предлагаемый теорией хаоса, применяется успешно во многих областях. Основной характеристикой самоподобных структур является фрактальная размерность D. Данная характеристика была предложена Хаусдорфом в 1919 году. Позднее Мандельброт доработал некоторые идеи Хаусдорфа.
N(δ) – минимальное число шаров радиуса δ, которые покроют это множество. Часто на практике при попытке вычислить показатель D возникают проблемы, связанные с тем, что временной ряд всегда имеет минимальный масштаб для δ. Показатель D получил название показатель Хаусдорфа (размерность Хаусдорфа). Однако для надежного вычисления требуется большой объем данных для проведения расчета. Иначе результаты могут получиться нерепрезентативными.
Если известно достаточное количество показателей Ляпунова, то можно оценить ляпуновскую размерность аттрактора по формуле Каплана-Йорке:
Материал является отрывком из научной работы «Теория нелинейной динамики».
Приходите на курс «Математика для Data Science» в OTUS. Не упустите возможность повысить свои навыки и освоить востребованную профессию!
ЗАПИСАТЬСЯ НА КУРС