Большинство текстовых задач можно формализовать в виде уравнения или системы уравнений. Олимпиадные задачи в этом смысле не являются исключением.
Условие:
На доске было написано три числа. Когда их стерли и написали их произведение, сумму и сумму попарных произведений, то оказалось что на доске записаны те же три числа. Что это могли быть за числа?
Решение:
На доске было написано a, b, c. Эти числа стерли и написали abc, a+b+c, ab+bc+ac и это оказались те же самые числа в некотором порядке. Так как все записи у нас симметричны, то не нарушая общности мы можем записать равенства представленные на рисунке 1.
Из этой системы легко получить:
В первом равенстве сократили на a, во втором взаимно уничтожили b, в третьем подставили a=-с.
Из третьего равенства c=-1, из второго a=1, из первого b=-1. Изначально на доске было записано 1, -1, -1 в некотором порядке.
UPD. В комментариях Андрей Баранов отметил, что существует еще один набор решений. Действительно, все предыдущие действия сделаны с допущением, что a ≠ 0 (делили на a). Если же а=0, то первое равенство на рисунке 1 очевидно верно. Из второго следует, что с=0. Тогда при a=c=0 третье выражение всегда верно, что означает что b - любое число. То есть на доске так же могло быть записано 0, 0, b, где b - любое число.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!