В этой статье я постараюсь подробно расписать как решать задания по электродинамике на переходные процессы на примере данной задачи.
Для решения нам понадобятся законы Кирхгофа. Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.
Первый закон Кирхгофа
Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.
Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.
Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» .
Второй закон Кирхгофа
Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре. Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:
1.Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).
2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.
3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:
— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».
— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».
Составим уравнение по первому закону Кирхгофа:
Составим уравнения для каждого контура по второму закону Кирхгофа:
Тогда получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Где эдс самоиндукции катушки индуктивности определяется через
Перепишем нашу систему уравнений:
Подставим первое уравнение во второе и третье и получим систему относительно двух переменных:
Далее сделаем некоторые преобразования для перехода к уравнению от одной переменной:
Получили дифференциальное уравнение из которого можно найти первый ток. Для начала решим однородное ДУ:
Решением будем искать в следующем виде i(t) = exp[kt], получим характеристическое уравнение нашего ДУ:
Полученные значение k из характеристического уравнения дадут следующее решение однородного ДУ:
Теперь найдем частное решение ДУ:
Полное решение складывается из суммы решение однородного и неоднородного (частное решение):
Подставим начальные условия, чтобы найти неизвестную постоянную. Считаем, что в момент замыкания ключа ток в контуре равен нулю, поэтому:
Тогда получаем:
Окончательные выражение для всех токов в цепи:
Теперь построим моделирующие графики. Для этого я использовал онлайн-сервис www.desmos.com из-за большого удобства. Можно изменять различные сопротивления, индуктивности, емкости, двигая ползунки, тем самым наблюдая динамическое изменение всех графиков. Можно было было бы закодить такую же штуку на JS или desktop приложение на Delphi, но я немного поленился :) Но если вам бы хотелось увидеть мануал как с нуля закодить аналогичную вещь, то напишите в комментарии, а я постараюсь реализовать :)
Автор статьи: Кирилл Хало
Больше интересных статей читай в группе Physics.Math.Code.Books
Помощь по физике, математике, информатике, программированию, подробные разборы задач, консультации по решению, а также репетиторство и наставничество по техническим предметам вы можете найти в группе Репетитор | IT mentor