Что-то часто в последнее время всплывают то вопросы, то заметки на очень животрепещущую тему, можно ли делить на ноль. Действительно, как же так. Понятно - школа, там и без того было много ограничений. Но теперь-то! Мы все - давно уже взрослые люди, вольны покупать алкоголь, курить на балконе и заплывать за буйки. А на ноль делить по-прежнему нельзя. Это какой-то волюнтаризм получается!
Поэтому начинаются догадки и попытки взять последний рубеж. Некоторых в институте научили правилу Лопиталя, и они уверовали, что возмутительное ограничение из беззаботного детства пало, так что ноль на ноль поделить всё-таки можно. Другим повезло меньше, но и у них есть ответ в кармане в виде положенной на бок восьмёрки. А некоторым повезло совсем сильно, и они точно знают, что на ноль делить нельзя, но кто станет слушать этих ботаников!
Признаться, меня тоже вполне себе слушать (то есть, читать) необязательно. Ну или прочитать лишь затем, чтобы сказать, что я - лох ушастый и ничего в проблеме не смыслю. Но я всё-таки попробую.
Так вот. Действительно, на ноль делить нельзя. Дело в том, что операция деления - это в алгебре умножение на обратное. То есть:
a ÷ b := a ∙ b̂̂
где b̂̂ - число, обратное к b, то есть, такое число, что b ∙ b̂̂ = 1.
Рассмотрим теперь ноль, и пусть у него есть обратный элемент, обозначим его Θ. Получаем:
1 = 0 ∙ Θ = (0 + 0) ∙ Θ = 0 ∙ Θ + 0 ∙ Θ = 1 + 1 = 2 (*)
Здорово, правда? Получается, мы должны отказаться либо от деления на ноль, либо от распределительного закона умножения относительно сложения.
А как же бесконечность, спросят некоторые. Положим 1/0 = ∞, и всего делов. Да не вопрос. Только есть одна маленькая проблема: бесконечность - это не число. И ввести её за ручку в стройный коллектив чисел просто так не получится.
Для того, чтобы проиллюстрировать все сложности, которые возникнут, вздумай мы пролоббировать новое "число" бесконечность, вспомним один поучительный пример. Если взять множество вещественных чисел R, дополнить его одним-единственным новым элементом i и позаботиться о том, чтобы результат такого дополнения был алгебраически замкнут (то есть, операции сложения и умножения давали бы результаты, остающиеся внутри этой новой конструкции), то получится... ну, вы догадались. Получится целая комплексная плоскость С, обладающая массой полезных свойств, но на R уже немножко непохожая. И, главное - проблему (*) это нововведение не решит.
Ну хорошо, с алгеброй не получилось, но ведь есть математический анализ с его мощным инструментом по имени "правило Лопиталя". Увы, дело в том, что формальная запись 0/0 - это, опять-таки, не какое-то конкретное число или разрешение делить на ноль, а лишь обозначение довольно нетривиальной процедуры: взятия предела отношения элементов двух бесконечно малых последовательностей:
0/0 := lim (aₙ ÷ bₙ) при n→∞,
и куда сойдется этот предел в каждом конкретном случае - тот ещё вопрос, требующий дополнительных исследований.
Так что же, всё пропало, и нам теперь никогда не удастся поделить на ноль? Да что вы, в математике это вообще не проблема. Пожалуйста, вводите этот обратный к нулю элемент Θ и стройте себе содержательную теорию, в которой на ноль делить можно. Правда, не приходится рассчитывать, что поле вещественных чисел при таком расширении чего-то не потеряет (как, например, потеряло упорядоченность при расширении до поля комплексных чисел), но это не беда. Получится какое-нибудь новое множество R̃ со своими законами и теоремами. Была бы польза. Математика и не такие выкрутасы прощает. Например, на ноль делить можно там, где 0=1 (я, правда, сам это чудо не видел, но старики сказывали, есть места в лесах под Новосибирском...).