В группе из 23 или более человек вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Интересное утверждение. Наверняка многие замечали такую тенденцию. Давайте попробуем проверить.
Оговоримся сразу, что мы задача ставится именно такая: оценить вероятность, что у каких-либо двух человек из 23 совпадет день и месяц рождения. Мы не говорим о конкретном человеке и мы не учитывает год рождения.
Как и в прошлой статье про замену переменной, эту задачку не совсем правильно называть парадоксом. Парадокса тут никакого нет, однако интуитивно ответ про вероятность более 50% кажется не совсем очевидным.
Попробуем решить обратную задачу. Найдем вероятность того, что в группе из 23 человек ни у кого дни рождения не совпали. Помним, что если у нас два независимых события должны произойти одновременно, то вероятности каждого из этих событий мы должны перемножить. Возьмем первого человека. Он родился в определенный день и месяц. У второго вероятность родиться в какой-то другой день 365/366. У третьего 364/366, потому что первые два дня уже заняты. И так далее. Таким образом, мы можем посчитать вероятность с которой не совпадут дни рождения у любого количества человек. Например, для 10 человек это будет 1*365/366*364/366*363/366*362/366*361/366*360/366*359/366*358/366*357/366 = 0,88. То есть с вероятностью ~88% у коллектива из 10 человек дни рождения будут в разные дни. При этом остается ~12%, что эти дни рождения совпадут.
Если мы возьмем коллектив из 23 человек, то вероятность несовпадения будет ~49,3%, а значит вероятность ~50,7%, что дни рождения совпадут.
Если в коллективе будет 50 человек, то вероятность совпадения будет уже ~97%, однако 100% мы сможем получить лишь в коллективе из 367 человек.