Некоторые из вас наверняка смотрели фильм «Двадцать одно» или слышали о передаче «Let’s Make a Deal», ведущим которой был Монти Холл. Суть игры в том, что перед игроком три двери. За одной дверью находится автомобиль, а за двумя другими козы. Ведущий предлагает вам выбрать одну из трех дверей. Он знает где расположен автомобиль, а где козы. После того как ваш выбор сделан, ведущий открывает дверь за которой стоит коза. Далее спрашивает у вас - не желаете ли изменить свой выбор?
Стоит ли менять дверь?
Да, стоит.
На самом деле не совсем корректно это называть парадоксом, потому что это не парадокс абсолютно, но так исторически сложилось, что в головах данная статистическая задачка приобрела именно такое название.
Давайте попробуем разобраться почему.
Для начала оговоримся, что:
- автомобиль всегда равновероятно расположен за любой из трех дверей.
-ведущий знает, где находится автомобиль, а где козы
-ведущий всегда открывает дверь с козой
-ведущий всегда предлагает выбрать другую дверь
Изначально вероятность выбора двери с автомобилем составляет 1/3. Вроде все логично. Допустим, мы выбрали дверь №1. Далее ведущий открывает дверь №3, показывает, что там коза. Затем он спрашивает, будем ли мы менять дверь? Мы можем оставить свой выбор на двери №1 и проиграть, а можем изменить свой выбор на дверь №2 и победить. На первый взгляд может показаться, что вероятность будет 1/2 (50%), однако это не так. Вероятность 50% будет при условии, что у нас изначально только две двери. Предположим, что мы не будем менять наш выбор. В таком случае, вероятность выбора двери за которой находится коза составляет 2/3. После того как одна дверь с козой открылась, вероятность того что мы изначально ошиблись все те же 2/3. Ничего не меняется и нам остается все же поменять свой выбор чтобы забрать автомобиль.
Попробуем усложнить задачу. перед нами 100 дверей. За одной из них автомобиль. Мы опять же выбираем какую-то произвольную дверь, после чего ведущий открывает 98 дверей и предлагает нам поменять наше решение. Нам стоит его поменять. Вероятность того, что мы с первой попытки выбрали дверь с автомобилем составляет 1%, в то время как с 99% вероятностью мы выбрали дверь с козой. Если мы меняем дверь, то шансы получить автомобиль возрастают. То же самое происходит, в случае оригинальной задачи, только вероятности ниже.
Всем спасибо.