При решении задач бывает полезным обозначить неизвестную величину буквой, с помощью которой получается ответ задачи. Значение неизвестной величины при этом находить не требуется, да и невозможно без дополнительных условий. Рассмотрим несколько таких задач.
Задача 1. Производительность труда мастера в 2 раза больше, чем производительность труда его ученика. При совместной работе мастер и ученик выполнили некоторое задание за 6 дней. За сколько дней то же задание выполнит один мастер?
Решение. Пусть производительность труда ученика равна x, а производительность труда мастера 2x (единиц продукции в день). Тогда всё задание составляет 6 * (2x + x) = 18x (тех же единиц). Такое задание мастер выполнит за 18x : 2x = 9 (дней).
Ответ. 9 дней.
Замечание. Знатоки тут заметят, что задача решается проще с использованием обратной пропорциональности времени работы и производительности труда при одном и том же объёме работы. Так как производительность труда мастера составляет 2/3 общей производительности труда, то время его работы составит 3/2 от 6 дней, то есть 9 дней. С этим замечанием я полностью согласен, но задача составлена для демонстрации указанного в заглавии приёма, она может быть дана ученикам до изучения обратной пропорциональности.
Задача 2. Теплоход проплыл по реке одно и то же расстояние без остановок в одном направлении за 6 часов, а в обратном — за 9 часов. При этом собственная скорость теплохода была постоянна. За сколько часов это расстояние проплывёт бревно?
Решение. Пусть расстояние, которое проплыл теплоход по реке в одном направлении равно s км. Тогда скорость теплохода по течению реки равна s/6 км/ч, а против течения s/9 км/ч. Скорость течения, с которой плывёт бревно, равна (s/6 – s/9) : 2 = s/36 (км/ч). Следовательно, бревно проплывёт расстояние s км за s : s/36 = 36 (часов).
Ответ. 36 часов.
Замечание. Если такого рода задача попалась в тестовой части ОГЭ или ЕГЭ, то можно смело решать её для частого случая, так как предъявлять на проверку нужно не решение, а только ответ. Пусть расстояние равно 180 км. Проделав те же вычисления, получим скорость по течению 30 км/ч, против течения 20 км/ч, скорость течения 5 км/ч. Время движения бревна равно 180 : 5 = 36 (часов).
Раз уж мы вспомнили ОГЭ, то давайте рассмотрим две задачи на вычисление средней скорости.
Задача 3. Грузовик ехал несколько часов со скоростью 90 км/ч, потом столько же часов — со скоростью 60 км/ч. С какой постоянной скоростью он проехал бы тот же путь за то же время? (Эту скорость называют средней скоростью.)
Решение. Пусть грузовик ехал t ч со скорость 90 км/ч, потом t ч со скоростью 60 км/ч. За время 2t ч он проехал 90t + 60t = 150t (км). Средняя скорость движения составила 150t : 2t = 75 (км/ч).
Ответ. 75 км/ч.
Замечание. Как видно из решения, если грузовик ехал с разными скоростями равные промежутки времени, то средняя скорость есть среднее арифметическое скоростей движения на этих участках: 75 км/ч. Только не путайте этот случай с описанным в следующей задаче.
Задача 4. Грузовик ехал первую половину пути со скоростью 90 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 60 км/ч. Вычислите среднюю скорость грузовика.
Решение. Пусть длина каждой половины пути s км. Тогда всего грузовик проехал 2s км, потратив на весь путь s/90 + s/60 = s/36 (часов). Средняя скорость движения составила 2s : s/36 = 72 (км/ч).
Ответ. 72 км/ч.
Замечание. См. замечание к задаче 2.
Теперь задача посложнее для тех, кто постарше.
Задача 5. Из пункта A в пункт B, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним в пункт B вышел катер. Дойдя до B, он сразу же развернулся и отправился назад. Какую часть пути проплыл плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
См. также на сайте www.shevkin.ru статью Не бойтесь вводить лишние буквы, решая сложные задачи на проценты.
Если текст понравился, то ставим «палец вверх», подписываемся на канал. В комментариях оставляем возражения, предложения и пожелания.
Ваш наблюдатель Шевкин Александр Владимирович.