На практике и в курсе математики довольно часто приходится делить число (величину) в данном отношении. Такие задачи решают на ЕГЭ, решали и в глубокой древности. Начнём с задачи из Древнего Египта.
Задача 1. Число и его половина составляют 9. Найдите число.
Решение. Пусть половина числа составляет 1 часть, тогда само число — 2 такие же части, так как число в 2 раза больше своей половины.
1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на число и его половину,
2) 9 : 3 = 3 (единицы) — приходится на 1 часть, это половина числа,
3) 3 * 2 = 6 (единиц) — приходится на число.
Ответ. 6.
Изменим условие задачи на части — получим задачу на деление числа в данном отношении.
Задача 2. Разделите число 9 в отношении 2 : 1. Найдите полученные числа.
Решение задачи записано выше. Сделаем вывод в виде правила, которому можно следовать при решении других задач, меняя число и члены отношения.
Чтобы число 9 разделить в отношении 2 : 1, надо это число разделить на сумму членов отношения и результат умножить на каждый член отношения.
Запишем решение задачи по новому правилу.
Решение.
1) 9 : (2 + 1) * 2 = 6 — большее число,
2) 9 : (2 + 1) * 1 = 3 — меньшее число.
Разумеется, меньшее число можно было найти вычитанием: 9 – 6 = 3.
Ответ. 6 и 3.
Задача 3. Брат и сестра разделили 35 конфет в отношении 3 : 4. Брату досталась меньшая часть. Сколько конфет досталось сестре?
Решение.
1) 35 : (3 + 4) * 3 = 15 (конфет) — досталось брату,
2) 35 – 15 = 20 (конфет) — досталось сестре.
Ответ. 20 конфет.
Задача 4. Малыш и Карлсон разделили 16 плюшек в отношении 3 : 5. Сколько плюшек досталось Карлсону, если Малышу досталось меньше плюшек?
Решение.
1) 16 : (3 + 5) * 3 = 6 (плюшек) — досталось Малышу,
2) 16 – 6 = 10 (плюшек) — досталось Карлсону.
Ответ. 10 плюшек.
Задача для ребят постарше.
Задача 5. В треугольнике три стороны имеют длину 8, 10 и 12. На какие отрезки биссектриса треугольника делит среднюю его сторону?
Решение. Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам треугольника, то есть в отношении 8 : 12 = 2 : 3. Разделим сторону 10 в отношении 2 : 3.
1) 10 : (2 + 3) * 2 = 4 — длина меньшей части,
2) 10 – 4 = 6 — длина большей части.
Ответ. 4 и 6.
На ЕГЭ базового уровня в 2018 году была такая задача.
Задача 6. Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
http://fipi.ru/sites/default/files/document/1535625213/matematika_2018.pdf
Решение. Так как варенья они съели поровну, а Медведь ест варенье в 3 раза быстрее Маши, то на варенье Медведь потратил времени в 3 раза меньше, чем Маша. Печенье Медведь ел в 3 раза больше времени, чем Маша, которая в это время ела варенье. Так как скорость поедания печенья у Медведя в 3 раза больше, чем у Маши, то Медведь съел печенья в 3*3 = 9 раз больше, чем Маша. Делим 110 печений в отношении 9 : 1.
Медведь съел 110 : (9 + 1)*9 = 99 (печений).
Ответ. 99 печений.
Ваш наблюдатель Шевкин Александр Владимирович.