Опериал (обобщение факториала?!)

Я думаю, каждому старшекласснику хоть раз доводилось слышать о факториале. Факториал неотрицательного целого числа n определяют как произведение всех натуральных от 1 до n:

Прошу ещё раз обратить внимание, что мы используем операцию произведения. А что если вместо неё использовать другую операцию? Например, операцию сложения или вычитания?

Или операцию деления?

Чтобы была понятна последовательность действий, здесь написано (...(((1/2)/3)/4)/...)/n

Что ж, после того, как мы уже хорошо представляем нашу идею обобщения факториала, пришло время формализовать её

Пусть символ ¤ обозначает какую-либо операцию (бинарную). Например, если ¤ = +, тогда 8 ¤ 2 = 8 + 2 = 10. Если ¤ = / (деление), то 8 ¤ 2 = 8 / 2 = 4

Бинарная операция (см. википедию)

Пусть n ∈ ℕ (n - натуральное число)

Тогда опериалом натурального числа n с заданной операцией ¤ назовём следующее выражение:

Причём важна очерёдность действий. Поэтому сначала вычисляется 1 ¤ 2, затем от результата вычисляется ¤ 3, затем от нового результата вычисляется ¤ 4 и так далее. Последовательность действий закончится тогда и только тогда, когда будет выполнено действие ¤ n

И будем обозначать это выражение как Ѻ<n, ¤>, где первый аргумент - некоторое натуральное число, а второй - некоторая бинарная операция

В конечном итоге имеем такое определение:

Знак ∀ читается: "Для любого ..."

Хоть мы и определили опериал для любой бинарной операции, можно (скорее всего) придумать такую бинарную операцию, что 1 ¤ 2 вычисляется (1 ¤ 2 = a), однако a ¤ 3 не вычисляется. Поэтому имеет место несуществование опериала относительно какой-либо операции ¤ при заданном n.

В дальнейших статьях я буду выводить формулы опериалов от различных бинарных операций.

Спасибо за внимание!