Речь пойдёт о нескольких задачах из учебников 5-6 классов, из ЕГЭ базового уровня, по условиям которых составляются верные числовые равенства. В этих равенствах буквами обозначены неизвестные пока числа. Они не рассматривают как переменные. В этом вопросе авторы учебников серии «МГУ-школе» (Просвещение, С.М. Никольский и др.) с самого начала отошли от навязанного школе в конце 60-х годов прошлого века функционального подхода, при котором говорят про выражения, равенства и уравнения с переменными. Мы говорим про выражения, равенства и уравнения с неизвестными — этот традиционный подход ближе к опыту ребёнка, поэтому удобен в доказательствах, он готовит к изучению алгебры.
В разделе Задачи на повторение в учебнике серии «МГУ-школе» для 5 класса есть серия задач, завершённая такой задачей (1157).
Задача 1. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит гусёнок?
В этом месте учителя иногда недоумевают, зачем это авторы дают пятиклассникам задачу на систему линейных уравнений (7 класс), не рано ли? Для ответа на этот вопрос полезно вспомнить, как решают системы линейных уравнений? Один из двух способов их решения предполагает сложение уравнений, да ещё с предварительным умножением уравнений на подходящие множители. Важно научить учащихся выполнять эти манипуляции в работе с верными числовыми равенствами задолго до того, когда потребуется обосновать приём решения систем.
Рассмотрим решение задачи 1.
Ученик может записать условия задачи так:
3у + 4г = 2500,
4у + 3г = 2400,
где у и г — массы утёнка и гусёнка (в граммах) соответственно.
А далее выполнит понятные манипуляции с верными числовыми равенствами:
7у + 7г = 4900,
у + г = 700,
3у + 3г = 2100,
2500 – 2100 = 400 (г) – весит гусёнок.
Похожие задачи есть в нашем учебнике для 6 класса, есть в Едином национальном тестировании (ЕНТ) «Математическая грамотность (Казахстан) и в ЕГЭ базового уровня (Россия). Но такие задачи не изобретение итоговых экзаменов, на которых учащиеся чаще всего решают их с помощью систем.
Вот одна из самых ранних из обнаруженных мною задач такого типа. Наши предки решали её уж точно без системы линейных уравнений и без десятичных дробей, которых тогда ещё не знали.
Задача 2. (Новгород, XV в.). Одна бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15 вёдер с половиною уравниваются с 20-ю бочками и 8-ю вёдрами. Сколько насадок содержится в бочке? (Бочка, насадка, ведро — меры объёма жидкостей.)
Запишем условия задачи так:
1б + 20в = 3б,
19б + 1н + 15,5в = 20б + 8в.
Из первого равенства получим:
1б = 10в.
Из второго:
1н + 7,5в = 1б,
1н = 2,5 в,
4н = 10в.
Наконец, получим: 1б = 4н. То есть 1 бочка содержит 4 насадки.
Задача 3. (ЕНТ) Три яблока и одна груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблоко весят столько, сколько 1 груша. Сколько же персиков надо взять, чтобы уравновесить 1 грушу?
Преподаватель, обучавший в Интернете выпускников казахстанской средней школы, нарисовал весы, на чашах которых изобразил фрукты в точном соответствии с условиями задачи .
А достаточно было написать два равенства
3я + 1г = 10п,
1г = 6п + 1я,
умножить второе равенство на 3 и сложить его с первым равенством, чтобы получить после упрощения:
4г = 28п,
1г = 7п.
То есть надо взять 7 персиков, чтобы уравновесить 1 грушу.
Замечание. В вопросе задачи яблоки не фигурируют, их надо исключить из равенств, поэтому равенства (1) и (2) надо записать так, чтобы яблоки были в одном равенстве слева, в другом — справа, а потом манипулировать верными числовыми равенствами.
Приведём ещё одну задачу, которая решается аналогично.
Задача 4. (ЕГЭ, базовый уровень, № 20) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
– за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
– за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Ответ. На 10.
А это задача из Интернета. Её предложили китайским первоклассникам.
Задача 5. Расстояние от головы черепахи, сидящей под столом, до макушки кота на столе составляет 170 см. Расстояние от макушки сидящего под столом кота до черепахи на столе — 130 см. Определите высоту стола.
Пусть c, к, ч высота стола, кота и черепахи соответственно.
Составим равенства:
к + с – ч = 170,
ч + с – к = 130.
Сложив эти верные числовые равенства, получим:
2с = 300,
с = 150.
Скорее всего, первоклассники не придумают такого решения. Возможно, они поступят иначе: мысленно поставят один стол на второй.
Тогда окажется, что
130 + 170 = 300 (см) — удвоенная высота стола,
300 : 2 = 150 (см) — высота стола.
Ответ. 150 см.
См. также на сайте www.shevkin.ru: О пользе манипулирования с верными числовыми равенствами. Там есть задачи, решения которых требуют набора формул.
Если текст понравился, то ставим «палец вверх», подписываемся на канал. В комментариях оставляем возражения, предложения и пожелания.
Ваш наблюдатель Шевкин Александр Владимирович.