Задачка для шестого класса. Пусть есть две последовательности:
a, a+α, a+2α, a+3α, ... a+nα, ...
b, b+β, b+2β, b+3β, ... b+nβ, ...
Хочется получить формулу k-го элемента для "объединенной" последовательности:
a, b, a+α, b+β, a+2α, b+2β, ... a+nα, b+nβ, ...
то есть, такое выражение F(k), которое при k = 0, 1, 2, ... выдавало бы очередной элемент этой последовательности.
Для начала попробуем вывести формулу k-го элемента для такой последовательности:
0, 0, 1, 1, 2, 2, ..., n, n, ...
Сделать это просто. Формула k-го элемента этой последовательности такова:
Ф(k) = [k/2]
Здесь квадратными скобками [x] обозначена операция взятия целой части числа x. То есть, [0] = 0, [1/2] = 0, [1] = 1, [3/2] = 1 и т.д.
Далее попробуем вывести формулу для такой последовательности:
0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
Сделать это тоже труда не составит. Формула k-го элемента этой последовательности такова:
Θ(k) = Ф(k+1) − Ф(k)
Вооружившись этими полезными сведениями можно, наконец, написать общую формулу k-го элемента интересующей нас последовательности:
F(k) = (a + α · Ф(k)) · Θ(k+1) + (b + β · Ф(k)) · Θ(k)